[論文レビュー] Navigating in the Cayley graphs of SL_N(Z) and SL_N(F_p)

Tim Riley|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2005

Advanced Topics in Algebra参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、行列ノルムの対数に比例する定数倍以内の長さで、$\mathrm{SL}_N(\mathbb{Z})$ および $\mathrm{SL}_N\left(\mathbb{F}_p\right)$ の要素を基本行列 $e_{ij}$ ($i \neq j$) の語として表現する非決定的アルゴリズムを提示する。この手法は、減法的ユーグリッドの互除法の圧縮版を用いて実現され、$\mathrm{SL}_N(\mathbb{Z})$ の語距離が $\log\|\mathcal{M}\|$ と双リプシッツ同値であることを構成的証明にし、$\mathrm{SL}_N\left(\mathbb{F}_p\right)$ のケイリーグラフの直径に対する上界 $KN^2\log p$ を確立する。

ABSTRACT

We give a non-deterministic algorithm that expresses elements of SL_N(Z), for N > 2, as words in a finite set of generators, with the length of these words at most a constant times the word metric. We show that the non-deterministic time-complexity of the subtractive version of Euclid's algorithm for finding the greatest common divisor of N > 2 integers a_1,..., a_N is at most a constant times N log n where n := max {|a_1|,..., |a_N|}. This leads to an elementary proof that for N > 2 the word metric in SL_N(Z) is biLipschitz equivalent to the logarithm of the matrix norm -- an instance of a theorem of Mozes, Lubotzky and Raghunathan. And we show constructively that there exists K>0 such that for all N > 2 and primes p, the diameter of the Cayley graph of SL_N(F_p) with respect to the generating set {e_{ij} \mid i eq j} is at most K N^2 \log p.

研究の動機と目的

• $N \geq 3$ に対して、基本行列生成子を用いて $\mathrm{SL}_N(\mathbb{Z})$ の有効で構成的な標準形を構築すること。
• $N \geq 3$ 個の整数の最大公約数を計算する、時間計算量が有界な非決定的アルゴリズムを確立すること。
• $\mathrm{SL}_N(\mathbb{Z})$ の語距離が $\log\|\mathcal{M}\|$ と双リプシッツ同値であることを証明し、Mozes, Lubotzky, Raghunathan の結果を精緻化すること。
• 基本行列生成集合に関して、$\mathrm{SL}_N\left(\mathbb{F}_p\right)$ のケイリーグラフの直径に対する構成的上界を提供すること。
• $\mathrm{SL}_N(\mathbb{Z})$ の標準形の幾何的複雑性を扱い、それらが同期的あるいは非同期的でさえもフェロウトラベルできないことを示すこと。

提案手法

• フィボナッチに基づく圧縮技術を用いて、$e_{ij}^m$ を $O(\log(1+|m|))$ 個の基本行列の積として表現する。
• この圧縮法を、$N \geq 3$ 個の整数に対する非決定的減法的ユーグリッドの互除法における繰り返し加算・減算を高速化するために適用する。
• 行列 $\mathcal{M} \in \mathrm{SL}_N(\mathbb{Z})$ を行基本変形により単位行列に還元し、列を $N$ 次元整数ベクトルとみなす。
• 圧縮ユーグリッド法を用いて、$\mathcal{M}$ の列を $O(N\log n)$ ステップで標準基底ベクトルに還元する。ここで $n = \max|a_i|$ である。
• $\mathbb{F}_p$ 上で行列を上三角形に変形し、各上三角成分を $O(\log p)$ 回の操作で消去する。この際、圧縮法を用いる。
• 制御された基本行列の列を適用し、$\mathbb{F}_p$ 上の対角行列を単位行列に還元する。各行ペアに対して $O(\log p)$ 回の操作を要する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非決定的時間計算量としての減法的ユーグリッドの互除法の $N \geq 3$ 個の整数に対する時間計算量は何か？ また、これは入力サイズに依存せず有界にできるか？
• RQ2 明示的なアルゴリズムを用いて、$\mathrm{SL}_N(\mathbb{Z})$ の語距離が $\log\|\mathcal{M}\|$ と双リプシッツ同値であることをどのように示せるか？
• RQ3 生成集合 $\{e_{ij} \mid i \neq j\}$ に関して、$\mathrm{SL}_N\left(\mathbb{F}_p\right)$ のケイリーグラフの直径は何か？
• RQ4 $\mathrm{SL}_N(\mathbb{Z})$ の構成的標準形を設計し、その語長さが最短語長に対して線形に有界になるようにできるか？
• RQ5 このような標準形が、同期的あるいは非同期的にケイリーグラフ上でフェロウトラベル可能かどうか？

主な発見

• 非決定的時間計算量としての減法的ユーグリッドの互除法の $N \geq 3$ 個の整数に対する時間計算量は $O(N\log n)$ であり、$n = \max\{|a_1|, \ldots, |a_N|\}$ である。ここで、$N$ や $n$ に依存しない普遍定数を用いる。
• 構成的標準形として、語長さが $C_2 \log\|\mathcal{M}\|$ 以下であるものが達成され、$C_2 \leq C_3 N^N$ となる普遍定数 $C_3 > 0$ が存在する。
• $\mathrm{SL}_N(\mathbb{Z})$ の語距離は $\log\|\mathcal{M}\|$ と双リプシッツ同値であり、正の定数 $C_1, C_2$ が存在して $C_1 \log\|\mathcal{M}\| \leq \ell(\mathcal{M}) \leq C_2 \log\|\mathcal{M}\|$ を満たす。
• $\mathrm{SL}_N\left(\mathbb{F}_p\right)$ の生成集合 $\{e_{ij} \mid i \neq j\}$ に関するケイリーグラフの直径は、普遍定数 $K > 0$ を用いて $KN^2\log p$ 以下である。
• 任意の基本行列 $e_{ij}$ を生成子 $\mathcal{A}_N^{\pm 1}, \mathcal{B}_N^{\pm 1}$ の語として表現する語長さの明示的上界 $10N$ が確立された。この生成子群は、全基本行列集合を生成する。