[論文レビュー] NC Algorithms for Weighted Planar Perfect Matching and Related Problems

Piotr Sankowski|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 31被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、多項式的に有界な重みおよび容量をもつ平面グラフにおける最小重み完全マッチング、最大二部マッチング、最小f-ファクター、および最小費用流のための初のNCアルゴリズムを提示する。本稿は、最小完全マッチング重みを計算するために代数的サブルーチンを活用する、革新的な組合せ的枠組みを導入し、平面性を保つ還元および双対構築技術を用いて、効率的な並列計算を可能にする。

ABSTRACT

Consider a planar graph G=(V,E) with polynomially bounded edge weight function w:E -> [0, poly(n)]. The main results of this paper are NC algorithms for finding minimum weight perfect matching in G. In order to solve this problems we develop a new relatively simple but versatile framework that is combinatorial in spirit. It handles the combinatorial structure of matchings directly and needs to only know weights of appropriately defined matchings from algebraic subroutines. Moreover, using novel planarity preserving reductions, we show how to find: maximum weight matching in G when G is bipartite; maximum multiple-source multiple-sink flow in G where c:E -> [1, poly(n)] is a polynomially bounded edge capacity function; minimum weight f-factor in G where f:V -> [1, poly(n)]; min-cost flow in G where c:E -> [1, poly(n)] is a polynomially bounded edge capacity function and b:V -> [1, poly(n)] is a polynomially bounded vertex demand function. There have been no known NC algorithms for these problems previously.

研究の動機と目的

• 多項式的に有界な辺重みをもつ平面グラフにおける最小重み完全マッチングのための初のNCアルゴリズムの開発。
• この枠組みを、平面グラフにおける最大基数および最大重み二部マッチングに拡張すること。
• f-ファクター問題のための平面性を保つ還元を提供し、平面グラフにおける最小f-ファクターのNC計算を可能にすること。
• 多項式的に有界な容量および需要をもつ平面グラフにおける最小費用流の長年の未解決問題を解消すること。
• サイズを保つ還元を用いて、非二部完全マッチングと最大二部マッチングとの間に接続を確立すること。

提案手法

• バランスの取れた双対（balanced duals）の概念を用いて双対解を構築する組合せ的枠組みを開発し、一意な双対構築を可能にする。
• KasteleynのPfaffian向き付けと代数的技法を用いて、平面グラフにおける最小完全マッチングの重みを計算する。
• f-ファクター問題を平面グラフにおける完全マッチングに還元するための、平面性を保つ頂点分割ギャップ（˜Gd,f）を導入する。
• 最大二部マッチングを2-ファクター計算に還元するために、辺を複製し、重み0の自己ループを追加して多重グラフG′を構築する。
• 偶数長のサイクルおよび複製された辺に対して並列な辺削除規則を適用し、2-ファクターから最大マッチングを抽出する。
• 重みの符号反転（w′(e) = −w(e) + max w(f)）を用いて、最大f-ファクター問題を最小f-ファクター問題に変換する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般マッチングからの平面性を保つ還元が存在しないにもかかわらず、多項式的に有界な辺重みをもつ平面グラフにおける最小重み完全マッチングはNCで解けるか？
• RQ2 平面グラフにおける最大二部マッチングを、平面性およびグラフサイズを保ちながら非二部完全マッチングに還元する方法はあるか？
• RQ3 平面グラフにおけるf-ファクター問題は、平面性を保つ還元を用いてNCで解けるか？
• RQ4 この枠組みは、多項式的に有界な容量および需要をもつ平面グラフにおける最小費用流に拡張可能か？
• RQ5 提案手法は、平面グラフにおける最大マッチングについて、O(n)より優れた時間計算量を達成できるか？

主な発見

• 本稿は、多項式的に有界な辺重みをもつ平面グラフにおける最小重み完全マッチングのための初のNCアルゴリズムを提示する。
• 非二部完全マッチングへのサイズを保つ還元を用いて、平面グラフにおける最大基数および最大重み二部マッチングのための初のNCアルゴリズムを確立する。
• f-ファクター問題のための平面性を保つ還元を構築し、平面グラフにおける最小f-ファクターのNC計算を可能にする。
• 多項式的に有界な容量および需要をもつ平面グラフにおける最小費用流の長年の未解決問題を、初のNCアルゴリズムを提供することで解決する。
• 最小費用流結果の拡張により、平面グラフにおける最大複数ソース複数シンクのフローをサポートする。
• 頂点分割後のグラフはO(n³)個の頂点をもつが、次数を3に削減することでサイズがO(n)に保たれ、効率性が維持される。