[論文レビュー] NC Geometry and Discrete Torsion Fractional Branes:I

El Hassan Saidi|ArXiv.org|Feb 17, 2002

Advanced Differential Geometry Research参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、交差積代数とファジー・トーラスを用いて、離散ねじれを有するカルラヤ・オルビフォールドの非可換 (NC) 幾何学枠組みを構築する。非可換多様体は、カルラヤ電荷と離散ねじれ行列に結びついたパラメータを持つ(2n+4)次元のファジー・トーラスの変形として生じ、特異点において分離されたループに還元されるクワイバーダイアグラムを構成することで、非可換五次型および一般のn次元オルビフォールドにおける分数量Dブレインおよびその質量ゼロスペクトルの明示的分類が可能になる。

ABSTRACT

Considering the complex n-dimension Calabi-Yau homogeneous hyper-surfaces ${\cal H}_{n}$ and using algebraic geometry methods, we develop the crossed product algebra method, introduced by Berenstein et Leigh in hep-th/0105229, and build the non commutative (NC) geometries for orbifolds ${\cal O}={\cal H}_{n}/{\bf Z}_{n+2}^{n}$ with a discrete torsion matrix $t_{ab}=exp[{\frac{i2π}{n+2}}{(η_{ab}-η_{ba})}]$, $η_{ab} \in SL(n,{\bf Z})$. We show that the NC manifolds ${\cal O}^{(nc)}$ are given by the algebra of functions on the real $(2n+4)$ Fuzzy torus ${\cal T}^{2(n+2)}_{β_{ij}}$ with deformation parameters $β_{ij}=exp{\frac{i2π}{n+2}}{[(η^{-1}_{ab}-η^{-1}_{ba})} q_{i}^{a} q_{j}^{b}]$, $q_{i}^{a}$'s being Calabi-Yau charges of ${\bf Z}_{n+2}^{n}$. We develop graph rules to represent ${\cal O}^{(nc)}$ by quiver diagrams which become completely reducible at singularities. Generic points in these NC geometries are be represented by polygons with $(n+2)$ vertices linked by $(n+2)$ edges while singular ones are given by $(n+2)$ non connected loops. We study the various singular spaces of quintic orbifolds and analyze the varieties of fractional $D$ branes at singularities as well as the spectrum of massless fields. Explicit solutions for the NC quintic ${\cal Q}^{(nc)}$ are derived with details and general results for complex $n$ dimension orbifolds with discrete torsion are presented.

研究の動機と目的

• 離散ねじれを有するカルラヤ・オルビフォールド ${\cal O} = {\cal H}_n / \mathbf{Z}_{n+2}^n$ の非可換 (NC) 拡張を構築すること。
• これらのオルビフォールドにおける幾何的特異点を、非可換代数の中心として実現することにより解消すること。
• 特異点における分数量Dブレインの分類および非可換幾何学を用いた質量ゼロ場スペクトルの計算。
• 五次型の場合から任意の複素次元 $n$ のカルラヤ超曲面へと非可換構成を一般化すること。
• 交差積代数とクワイバーダイアグラムを用いて、離散ねじれを有する非可換多様体を統一的枠組みで提示すること。

提案手法

• ベーランスタインら (hep-th/0105229) の交差積代数法を用いて、可換オルビフォールドから非可換幾何を構築する。
• 非可換多様体 ${\cal O}^{(nc)}$ を、変形パラメータ $\beta_{ij} = \exp\left[\frac{i2\pi}{n+2} \left( (\eta^{-1}_{ab} - \eta^{-1}_{ba}) q_i^a q_j^b \right) \right]$ を持つ実際の $(2n+4)$-次元ファジー・トーラス ${\cal T}^{2(n+2)}_{\beta_{ij}}$ 上の関数の代数として定義する。
• モリタ同値性およびCP代数技法を用いて、非可換代数とオルビフォールドの群作用および固定点構造を関連付ける。
• 一般点が $(n+2)$-頂点多角形として、特異点が $(n+2)$ 個の分離ループとして表れるクワイバーダイアグラムを導出する。
• ホロモーフィック行列座標パッチと移行関数を用いて、非可換複素多様体構造を定義する。
• カルラヤ電荷 $q_i^a$ を用いて、離散ねじれおよび変形パラメータを符号化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換幾何学は、代数幾何学的手法を用いて、離散ねじれを有するカルラヤ・オルビフォールドに対して体系的に構築可能か？
• RQ2 離散ねじれを有するオルビフォールド ${\cal H}_n / \mathbf{Z}_{n+2}^n$ から生じる非可換多様体 ${\cal O}^{(nc)}$ の正確な代数的構造は何か？
• RQ3 クワイバーダイアグラムは、非可換オルビフォールドの幾何学および特異点をどのように符号化するか？固定点においてはどのように簡約されるか？
• RQ4 非可換五次型および高次元ケースにおける特異点における分数量Dブレインの分類およびスペクトルは何か？
• RQ5 分数量ブレイン上での質量ゼロモードは、離散ねじれ群 $\mathbf{Z}_{n+2}^n$ の表現論とどのように関係するか？

主な発見

• 非可換多様体 ${\cal O}^{(nc)}$ は、離散ねじれおよびカルラヤ電荷に依存する変形パラメータ $\beta_{ij}$ を持つ $(2n+4)$-次元ファジー・トーラス ${\cal T}^{2(n+2)}_{\beta_{ij}}$ 上の関数の代数として実現される。
• 非可換五次型 ($n=4$) の場合、生成子 $Z_i$ 間の特定の非可換関係によって代数が定義され、構造定数 $\alpha, \beta, \gamma$ は五乗根の単位根である。
• 非可換幾何における特異点は、オルビフォールド群作用の固定点に対応する $n+2$ 個の分離ループとしてクワイバーダイアグラムに表れる。
• ${\cal H}_n$ が ${\mathbf{B}}_{ab} \bowtie {\cal S}_{ab}$ の形に $\frac{n(n-1)}{2}$ 種類にファイブレーション可能であり、それぞれが $d_1 d_2$ 個の分数量 $(p-4)$-ブレインと $2(d_1 + d_2)$ 個の質量ゼロモードをもたらす。
• 一般に ${\mathbf{Z}}_{n+2}^n$ の $k$ 重対称性に対しては $\frac{n!}{(n-k)!k!}$ 種類のファイブレーションがあり、それぞれが $\prod_{j=1}^k d_j$ 個の分数量 $(p-2k)$-ブレインと $\sum_{i=1}^k d_i$ 個の質量ゼロモードをもたらす。
• この構成はすべての $n$ 次元カルラヤ超曲面へ一般化可能であり、非可換五次型に対して明示的な結果が得られ、$n=4$ のときには既知の $K3$ 表面オルビフォールド結果と整合的である。