[論文レビュー] Near-linear constructions of exact unitary 2-designs

Richard Cleve, Debbie Leung+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2015

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 29被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、nキュービットにおける正確なユニタリ2-designの近線形量子回路構成を提示する。O(n log n log log n)のゲート複雑性を達成しており、拡張されたリーマン予想のもとでは Clifford ゲートを用い、無条件に非Clifford ゲートを用いる。深さは対数的である。主な貢献は、従来の正確または近似の構成より、回路サイズと深さにおいて2乗の改善を達成したことである。これにより、5n個のランダムビットのみを用いて、効率的かつ低エントロピーのサンプリングが可能になる。

ABSTRACT

A unitary 2-design can be viewed as a quantum analogue of a 2-universal hash function: it is indistinguishable from a truly random unitary by any procedure that queries it twice. We show that exact unitary 2-designs on n qubits can be implemented by quantum circuits consisting of ~O(n) elementary gates in logarithmic depth. This is essentially a quadratic improvement in size (and in width times depth) over all previous implementations that are exact or approximate (for sufficiently strong approximations).

研究の動機と目的

• 最小限のゲート数と深さで、正確なユニタリ2-designの効率的かつ正確な量子回路実装を開発すること。
• 従来の構成のO(n²)の壁を超えて、正確なユニタリ2-designの量子回路サイズと深さを最小限に抑えること。
• 正確性を保ちつつ、O(n)のランダムネスと近線形ゲート数という近最適なリソース使用を達成すること。
• 回路深さが効率的で、かつ古典的に多項式時間でサンプリング可能な構成を提供すること。

提案手法

• SL₂(GF(2ⁿ))の構造を活用して、随伴によるパウリ混合を引き起こすランダム行列を生成する。
• 上三角行列、下三角行列、および列パウリ混合操作の混合を用いて、均一なパウリ分布を達成する。
• 確率的手法を採用：確率 2ⁿ/(2ⁿ+1) で上三角行列混合に続いて列混合を実行。確率 1/(2ⁿ+1) でハダマード変換に続いて下三角行列混合を実行。
• GL₂(GF(2ⁿ))内のランダム行列から一貫したマッピングにより、Cliffordユニタリを構築し、正確な2-design特性を保証する。
• 特にGF(2ⁿ)における平方根計算を活用した効率的な有限体演算を用い、古典的に回路パラメータを多項式時間でサンプリングする。
• 高速畳み込みアルゴリズムを用いて、対数的深さのレイヤーに回路を整理し、低深さ実装を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正確なユニタリ2-designは、nに対してほぼ線形なゲート数と深さで構築可能か？
• RQ2 正確なユニタリ2-designを実装するために必要な最小のランダムビット数は何か？
• RQ3 このような設計は古典的に効率的にサンプリング可能か？ また、回路記述を生成する古典的複雑性は何か？
• RQ4 上三角行列、下三角行列、および列の混合操作は、どのように組み合わせて完全なパウリ混合を達成するか？
• RQ5 Cliffordゲートのみを用いても、正確な2-designの近線形ゲート数を達成可能か？ それとも、非Cliffordゲートが無条件の場合に役立つのか？

主な発見

• 本稿では、拡張されたリーマン予想を仮定すると、無限に多くのnについて、O(n log n log log n)のCliffordゲートを用いた正確なユニタリ2-designを構築する。
• すべてのnについて、O(n log n log log n)のゲート（非Cliffordゲートを含む）を用いた無条件の構成が提示される。
• 第三の構成では、O(n log²n log log n)のCliffordゲートを無条件に用い、O(log²n)の回路深さを達成する。
• すべての構成は、正確な2-designの既知の下界に一致する5n個のランダムビットのエントロピーのみを用いる。
• 最初の2つの構成では回路深さがO(log n)、第三の構成ではO(log²n)であり、近最適な深さを達成する。
• 回路記述の古典的サンプリングプロセスは多項式時間で実行され、GF(2ⁿ)における平方根計算が主な計算負荷を占める。