[論文レビュー] Near Optimal Adjacency Labeling Schemes for Power-Law Graphs

Alstrup, Stephen, Dahlgaard, Søren+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2015

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、重みなしグラフに対する近似的最適な D-保存距離ラベル付け方式を提示し、ラベルサイズを O(n/D · log²D) に抑え、従来の境界を改善し、スパースグラフにおける部分線形サイズのラベル付けを可能にした。著者らは、新たな有界次数グラフへの還元を活用し、D-保存ラベル付けフレームワークと組み合わせることで、スパースグラフに対する初めての o(n) サイズのラベル付け方式を達成するとともに、r ≥ 2 の場合に O(n/r · polylog(r log n)/log n) のサイズで改善された r-加法的ラベル付け方式を実現した。

ABSTRACT

A distance labeling scheme labels the n nodes of a graph with binary strings such that, given the labels of any two nodes, one can determine the distance in the graph between the two nodes by looking only at the labels. A D-preserving distance labeling scheme only returns precise distances between pairs of nodes that are at distance at least D from each other. In this paper we consider distance labeling schemes for the classical case of unweighted and undirected graphs. We present a O(n/D * log^2(D)) bit D-preserving distance labeling scheme, improving the previous bound by Bollobás et al. [SIAM J. Discrete Math. 2005]. We also give an almost matching lower bound of Omega(n/D). With our D-preserving distance labeling scheme as a building block, we additionally achieve the following results: 1. We present the first distance labeling scheme of size o(n) for sparse graphs (and hence bounded degree graphs). This addresses an open problem by Gavoille et. al. [J. Algo. 2004], hereby separating the complexity from distance labeling in general graphs which require Omega(n) bits, Moon [Proc. of Glasgow Math. Association 1965]. 2. For approximate r-additive labeling schemes, that return distances within an additive error of r we show a scheme of size O(n/r * polylog(r*log(n))/log(n)) for r >= 2. This improves on the current best bound of O(n/r) by Alstrup et al. [SODA 2016] for sub-polynomial r, and is a generalization of a result by Gawrychowski et al. [arXiv preprint 2015] who showed this for r=2.

研究の動機と目的

• 重みなしグラフに対する近的最適なラベルサイズを有する D-保存距離ラベル付け方式の設計。
• スパースかつ有界次数グラフにおける o(n) ラベルサイズを達成するという未解決問題の解決。
• 特に部分多項式 r の場合に、r-加法的距離ラベル付け方式の最先端技術の改善。
• D-保存ラベル付けにおけるほぼ一致する上界と下界の確立により、ラベルサイズの近的最適性を示すこと。

提案手法

• 0 重みの辺を用いたノード分割による有界次数グラフへの還元を用いた D-保存距離ラベル付け方式の提案。
• 定理 3 の D-距離保存ラベルを適用し、距離が D 以上であるペアの正確な距離を保証。
• 高次数ノードを次数 ≤ k−2 の連結鎖に分割することで、一般のスパースグラフを有界次数グラフに還元。
• Gr（r/2-近傍グラフ）における最小支配集合 S を用いて、有界拡張性を有する低次数ノードを処理。
• D-保存ラベルと、Gr における低次数ノードの半径 D のボール内での局所的距離記憶を組み合わせる。
• ハイブリッド戦略を採用：大距離（≥ D）では正確な距離、小距離では支配集合または局所的ボールによる近似距離。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Ω(n/D) の下界に近いラベルサイズを有する D-保存距離ラベル付け方式を構築することは可能か？
• RQ2 スパースかつ有界次数グラフにおいて o(n) ラベルサイズを達成することは可能であり、ラベル付け方式における未解決問題を解決できるか？
• RQ3 部分多項式 r の場合に、O(n/r) を超える改善が可能か？
• RQ4 提案された方式は、べき乗則グラフにおいてラベルサイズの近的最適性を達成するか？

主な発見

• 本稿では、ラベルサイズ O(n/D · log²D) の D-保存距離ラベル付け方式を提示し、従来の O(n/D · log²n) の境界を改善した。
• ほぼ一致する下界 Ω(n/D) を確立し、提案方式の近的最適性を示した。
• 本方式により、スパースグラフに対する初めての o(n) サイズの距離ラベル付けが可能となり、Gavoille 他（2004）が提起した未解決問題が解決された。
• r ≥ 2 の場合に、O(n/r · polylog(r log n)/log n) のサイズで改善された r-加法的ラベル付け方式が達成され、部分多項式 r の場合に従来の O(n/r) の境界を上回った。
• 高次数ノードを有界次数の連結鎖に変換し、D-保存方式を適用することで、スパースグラフにおける部分線形ラベルサイズを達成した。
• 本フレームワークは、正確な距離照会と有界加法的誤差を有する近似距離照問を効率的に組み合わせ、複数のラベル付け戦略を統合可能である。