[論文レビュー] Nearly finite Chacon Transformation

Élise Janvresse, Emmanuel Roy+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2017

Mathematics and Applications参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、以前の無限測度Chacon構成で見られる「奇妙な測度」を排除することを目的とした、ほぼ有限なChacon変換を導入する。著者たちは、急激に増加する整数列を用いて切断・積み上げプロセスを精密に制御することで、唯一のエルゴード的T×d不変Radon測度が積分測度µ⊗dとTのべきからのグラフ測度であることを証明する。これにより、無限測度設定における最小自己結合性が達成され、ポアソン自己結合性を有するポアソン懸垂の構成が可能になり、可測な大数法則を有する有理的エルゴード性が確立される。

ABSTRACT

We construct an infinite-measure preserving version of Chacon transformation, and prove that it has a property similar to Minimal Self-Joinings in finite measure: its Cartesian powers have as few invariant Radon measures as possible.

研究の動機と目的

• 以前の無限Chacon系に見られる「奇妙な測度」を避ける無限測度保存変換を構成すること。
• X∞ 上の唯一のエルゴード的T×d不変Radon測度がµ⊗dとTのべきからのグラフ測度であることを確立すること。
• 有限測度系におけるMSJ性に類似した、無限測度設定における最小自己結合性を有する系を提供すること。
• Foia¸s–Str˘atil˘a型基準を満たす系を同定することで、ポアソン自己結合性を有するポアソン懸垂の構成を支援すること。
• 変換に対して有理的エルゴード性と可測な大数法則の存在を証明すること。

提案手法

• 急激に増加する列(nℓ)を用いてR+上での修正された切断・積み上げ法により、ほぼ有限なChacon変換を構成し、無限不変測度を保証する。
• 可算なアルファベット上の記号的モデルを用いて、列の空間X上の変換Tを表現し、一般点とコノール集合X∞の分析を可能にする。
• n交叉を、一般点x ∈ X∞の軌道がn番目のRokhlinタワーと相互作用するZ内の有限区間として定義し、その組合せ的構造を分析する。
• 軌道に沿った経験的測度に基づくRadon測度の収束基準を導入し、Hopfの比エルゴード定理に適合させる。
• ねじれ変換技術を適用：σがこのような変換に関して不変である場合、σは測度の積に分解され、帰納法の仮定が適用可能になる。
• Zの抽象的部分集合の階層と組合せ論的補題（補題4.2）を用いて、n交叉の構造を分析し、σがグラフ測度または分解可能であるための基準を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 そのカルテシアンべきが、最小限のエルゴード的不変Radon測度の集合しか持たないような無限測度保存変換を構成できるか？
• RQ2 「奇妙な測度」—Tのべきから生じない特異的周辺測度—が存在しないことは、最小自己結合性の自然な無限測度版を特徴づけるか？
• RQ3 一般点の軌道におけるn交叉の構造的条件は、不変Radon測度がグラフ測度または分解可能であることを保証するか？
• RQ4 このような系のポアソン懸垂は、PaP構成（ポアソン自己結合性を有するポアソン懸垂）に必要な要件を満たし、そのような系を構成可能か？
• RQ5 ほぼ有限なChacon変換は有理的エルゴード性を満たし、可測な大数法則を有するか？

主な発見

• ほぼ有限なChacon変換は無限Radon測度µを保存し、µ⊗dとTのべきからのグラフ測度のみが、定理3.10で述べられるX∞上での唯一のエルゴード的T×d不変Radon測度である。
• この変換は、元の無限Chacon系に見られた「奇妙な測度」を排除し、無限測度設定における最小自己結合性を達成する。
• 系3.11は、絶対連続的周辺測度を持つすべてのT×d不変Radon測度が、定理3.10で与えられる形のエルゴード成分の可算和であることを特定する。
• 有理的エルゴード性は、命題8.3で証明され、可測な大数法則の存在を示唆する。
• 証明は、一般点の軌道におけるn交叉の分析に依拠し、組合せ的構造を用いてねじれ変換に関する不変性を導出する。
• この構成は、ポアソン懸垂がPaP（ポアソン自己結合性を有するポアソン懸垂）であるための要件を満たすFoia¸s–Str˘atil˘a型基準を満たしており、そのような系の構成を可能にする。