[論文レビュー] Nearly Kaehler geometry and Riemannian foliations

Paul-Andi Nagy|ArXiv.org|Mar 5, 2002

Advanced Differential Geometry Research被引用数 30

ひとこと要約

この論文は、標準的で完全かつ単連結なほぼ複素ケーラー多様体が、6次元のほぼ複素ケーラー多様体、同次的ほぼ複素ケーラー空間、もしくは正のスカラー曲率をもつクaternion的ケーラー多様体上のツイスター空間のリーマン的積に分解されることを示すことによって、それらを分類する。この分類は、標準的ヘルミート接続のホロノミーを分析し、ヘルミート対称空間を fibre として持つファイブレーションに対して一般化された DeRham 分解を適用することに依拠する。

ABSTRACT

We consider strict and complete nearly Kaehler manifolds with the canonical Hermitian connection. The holonomy representation of the canonical Hermitian connection is studied. We show that a strict and complete nearly Kaehler is locally a Riemannian product of homogenous nearly Kaehler spaces, twistor spaces over quaternionic Kaehler manifolds and 6-dimensional nearly Kaehler manifolds. As an application we obtain structure results for totally geodesic Riemannian foliations admitting a compatible Kaehler structure. Finally, we obtain a classification result for the homogenous case, reducing a conjecture of Wolf and Gray to its 6-dimensional form.

研究の動機と目的

• 標準的ヘルミート接続のホロノミー表現を用いて、厳密かつ完全なほぼ複素ケーラー多様体を分類すること。
• 相性のとれたケーラー構造をもつリーマン的フォリエーションの幾何的構造を理解すること。
• 同次的ほぼ複素ケーラー多様体に関する Wolf-Gray 予想を6次元形に還元すること。
• リーマン的サブメルホリズムとヘルミート対称空間を fibre として持つファイブレーションを通じて、ほぼ複素ケーラー幾何とツイスター理論との間の構造的関係を確立すること。

提案手法

• ほぼ複素ケーラー多様体上の標準的ヘルミート接続のホロノミー表現を分析すること。
• ホロノミー表現を制限するための特別な代数的タイプのねじれテンソルを同定すること。
• 特別なねじれを持つ多様体が、完全に測地的かつコンパクトで単連結なヘルミート対称空間を fibre として持つ基底多様体へのファイブレーションをもつことを証明すること。
• 基底と fibre がそれぞれ非可約であると仮定して、このようなファイブレーションに一般化された DeRham 分解定理を適用すること。
• リッチテンソルの計算と Berger の分類定理を用いて、基底多様体のリーマン的ホロノミーを制約すること。
• 正のスカラー曲率をもつ対称クォータニオン的ケーラー多様体上のツイスター空間が同次的ケーラー多様体であるという事実を活用して、分類を結論づけること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的ヘルミート接続の下で、厳密かつ完全で単連結なほぼ複素ケーラー多様体の構造はいかなるものか？
• RQ2 相性のとれたケーラー構造をもつリーマン的フォリエーションは、周囲の多様体の幾何にどのような制約をもたらすか？
• RQ3 同次的ほぼ複素ケーラー多様体に関する Wolf-Gray 予想は6次元の場合に還元可能か？
• RQ4 ねじれテンソルは、ほぼ複素ケーラー多様体のホロノミーとグローバル分解を決定づける役割を果たすか？
• RQ5 クォータニオン的ケーラー多様体上のツイスター空間はどのようにほぼ複素ケーラー多様体として現れ、それらの幾何的性質は何か？

主な発見

• 厳密かつ完全で単連結なほぼ複素ケーラー多様体は、6次元のほぼ複素ケーラー多様体、タイプ I–IV の同次的ほぼ複素ケーラー空間、もしくは正のスカラー曲率をもつクォータニオン的ケーラー多様体上のツイスター空間のリーマン的積に分解される。
• この分類は、基礎となるリーマン計量の de Rham 分解と同値であり、ほぼ複素ケーラー構造の幾何的剛性を確認する。
• ケーラー多様体上に複素葉をもつ完全に測地的なリーマン的フォリエーションは、同じ分解から生じる必要がある。これは強い構造的制約を示唆する。
• 標準的ヘルミート接続のホロノミー表現は可約であり、ねじれテンソルによって代数的に制約されており、ヘルミート対称空間を fibre として持つファイブレーションを導く。
• 正のスカラー曲率をもつコンパクトで単連結かつ対称なクォータニオン的ケーラー多様体上のツイスター空間は、標準的ほぼ複素ケーラー計量をもつ。
• 同次的ほぼ複素ケーラー多様体は、標準的複素構造をもつケーラー多様体であることが示され、これによりその基底多様体は対称的であり、全体の構造は同次的であることが示される。