[論文レビュー] Nearly Sasakian geometry and $SU(2)$-structures

Beniamino Cappelletti–Montano, Giulia Dileo|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2014

Geometry and complex manifolds参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ほぼササキ多様体の体系的かつ包括的な研究を確立し、それらが接触多様体であり、ササキまたは5次元のほぼササキ的リーマン的葉を持つ可積分分布を有することを証明する。また、5次元のほぼササキ的構造と特別なクラスのほぼホイプ・$SU(2)$-構造との間の一対一対応を明らかにし、それらがササキ＝アインシュタイン的構造へと変形可能であることを示す。さらに、5次元において$SU(2)$-構造およびねじれテンソルを平行化する標準接続を導入する。

ABSTRACT

We carry on a systematic study of nearly Sasakian manifolds. We prove that any nearly Sasakian manifold admits two types of integrable distributions with totally geodesic leaves which are, respectively, Sasakian or $5$-dimensional nearly Sasakian manifolds. As a consequence, any nearly Sasakian manifold is a contact manifold. Focusing on the $5$-dimensional case, we prove that there exists a one-to-one correspondence between nearly Sasakian structures and a special class of nearly hypo $SU(2)$-structures. By deforming such a $SU(2)$-structure one obtains in fact a Sasaki-Einstein structure. Further we prove that both nearly Sasakian and Sasaki-Einstein $5$-manifolds are endowed with supplementary nearly cosymplectic structures. We show that there is a one-to-one correspondence between nearly cosymplectic structures and a special class of hypo $SU(2)$-structures which is again strictly related to Sasaki-Einstein structures. Furthermore, we study the orientable hypersurfaces of a nearly Kähler 6-manifold and, in the last part of the paper, we define canonical connections for nearly Sasakian manifolds, which play a role similar to the Gray connection in the context of nearly Kähler geometry. In dimension $5$ we determine a connection which parallelizes all the nearly Sasakian $SU(2)$-structure as well as the torsion tensor field. An analogous result holds also for Sasaki-Einstein structures.

研究の動機と目的

• ほぼササキ多様体およびその幾何的構造を体系的に研究すること。
• 可積分分布と全測地的葉を持つことにより、ほぼササキ多様体が接触多様体であることを確立すること。
• 5次元のほぼササキ的構造と特別なクラスのほぼホイプ・$SU(2)$-構造との間の一対一対応を証明すること。
• このような$SU(2)$-構造の変形がササキ＝アインシュタイン的構造をもたらすことを示すこと。
• ほぼササキ多様体に対して、$SU(2)$-構造およびねじれテンソルを平行化する標準接続を定義し、その特徴を特定すること。

提案手法

• 本稿は、非ササキ的性を測るためのテンソル場$ h = -\nabla_\rho - \phi $を用い、その固有値および固有分布を分析する。
• 接ベクトル束が$ h^2 $の固有分布に直交分解され、固有値$ 0, -\lambda_1^2, \dots, -\lambda_r^2 $を持つことを証明し、可積分かつ全測地的となるfoliationを導く。
• 著者らは、$SU(2)$-構造$ (\eta, \omega_1, \omega_2, \omega_3) $を介して、5次元のほぼササキ的構造とほぼホイプ・$SU(2)$-構造との間の一対一対応を確立する。
• ねじれテンソル$ H $を用いて標準接続$ \bar{\nabla} $を定義し、$ \eta $, $ \phi $, $ h $, および計量を含む成分を用いて、$ SU(2) $-構造の平行化を保証する。
• ほぼホイプ・$SU(2)$-構造の変形は、計量の特定の共形変換によりササキ＝アインシュタイン的構造に達成される。
• 標準接続が$ SU(2) $-構造およびねじれテンソルを両方とも保存することを示し、特に$ r = \frac{1}{2} $のとき成立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ほぼササキ多様体は、$SU(2)$-構造を通じてどのようにササキ的およびササキ＝アインシュタイン的構造と関係づけられるか？
• RQ2 テンソル場$ h $は、ほぼササキ多様体の幾何的分解を特徴付ける上で果たす役割は何か？
• RQ3 ほぼササキ多様体に対して、$SU(2)$-構造およびねじれテンソルを平行化する標準接続を定義できるか？
• RQ4 5次元のほぼササキ的構造と特別なクラスのほぼホイプ・$SU(2)$-構造との間には一対一対応が存在するか？
• RQ5 ほぼホイプ・$SU(2)$-構造の変形はどのようにしてササキ＝アインシュタイン的構造を生成するか？

主な発見

• 任意のほぼササキ多様体は、$ h^2 $の固有分布への直交分解を有し、固有値$ 0, -\lambda_1^2, \dots, -\lambda_r^2 $をもち、可積分かつ全測地的となるfoliationを導く。
• $ \mathcal{D}(0) $の分布は可積分であり、その葉は次元$ 2p+1 $のササキ多様体であり、$ p > 0 $のとき非自明なササキ的構造を持つ。
• 各分布$ [\xi] \oplus \mathcal{D}(-\lambda_i^2) $は可積分であり、5次元のほぼササキ的で非ササキ的である全測地的foliationを定義する。
• $ [\xi] \oplus \mathcal{D}(-\lambda_1^2) \oplus \cdots \oplus \mathcal{D}(-\lambda_r^2) $のfoliationの葉空間は、$ p > 0 $のときケーラー的であり、ケーラー的還元を確立する。
• 5次元のほぼササキ的構造と特別なクラスのほぼホイプ・$ SU(2) $-構造との間には一対一対応が存在し、それらはササキ＝アインシュタイン的構造へと変形可能である。
• 5次元において、$ SU(2) $-構造およびねじれテンソルを両方とも平行化する標準接続$ \bar{\nabla} $が存在する。特に$ r = \frac{1}{2} $のとき成立し、ササキ的構造のオクムラ接続と一致する。