[論文レビュー] Necessary and Sufficient Conditions for State Feedback Equivalence to Negative Imaginary Systems

Kanghong Shi, Ian R. Petersen+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2021

Piezoelectric Actuators and Control参考文献 34被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、最小線形時不変（LTI）系が状態フィードバックにより負虚数（NI）系と等価であるための必要十分条件を確立する。このような等価性は、かつてその系が相対次数 ≤2 かつ弱最小位相である系に出力変換可能であるとき、かつそのときに限る。本手法は出力および入力変換を用いてNI特性を達成し、厳密に負虚数（SNI）不確実性を有する系のロバスト安定化を可能にする。数値例では、DC利得解析により保証される漸近的安定性が示された。

ABSTRACT

In this paper, we present necessary and sufficient conditions under which a linear time-invariant (LTI) system is state feedback equivalent to a negative imaginary (NI) system. More precisely, we show that a minimal LTI strictly proper system can be rendered NI using full state feedback if and only if it can be output transformed into a system, which has relative degree less than or equal to two and is weakly minimum phase. We also considered the problems of state feedback equivalence to output strictly negative imaginary systems and strongly strict negative imaginary systems. Then we apply the NI state feedback equivalence result to robustly stabilize an uncertain system with strictly negative imaginary uncertainty. An example is provided to illustrate the proposed results, for the purpose of stabilizing an uncertain system.

研究の動機と目的

• パスファイテイおよび正実（PR）制御理論の制限（相対次数 ≤1 に制限）を克服し、相対次数が最大2まで許容される負虚数（NI）系にフレームワークを拡張すること。
• 既存の文献におけるギャップを埋めるために、状態フィードバックによるNI、OSNI、SSNI系との等価性の完全な特徴付けを提供すること、特に混合相対次数を有する系を含む。
• 出力および入力変換を用いてNI特性を保ちつつ、状態フィードバックによるシステムのNI化を構成的に行う手法を開発すること。
• NI状態フィードバック等価性の結果を、厳密に負虚数（SNI）不確実性を有する系のロバスト安定化に応用し、漸近的安定性を保証すること。

提案手法

• 本稿は、相対次数 ≤2 かつ弱最小位相である形に変換可能な系に変換する出力変換を導入し、これはNI状態フィードバック等価性の必要十分条件である。
• 特異的でない出力変換のもとでNI特性が不変であることを証明し、追加の入力変換により補償することで、システム構造およびフィードバック特性を保存する。
• 変換されたシステムのダイナミクスから導出された状態フィードバック制御則を用い、システム行列および変換パラメータの関数としてフィードバックゲインの明示的公式を提供する。
• 線形行列不等式（LMIs）を用いたNI補題を適用し、変換されたシステムのNI特性を検証する。これにより、すべての ω ≥ 0 に対してヘルミート虚数部が半負定であることが保証される。
• ロバスト安定化のため、閉ループDC利得条件 λ_max(R(0)Δ(0)) < 1 が満たされることを保証し、NIコントローラ安定性基準を活用する。
• 数値例により、全手順が実証される：システムの変換、フィードバックゲインの計算、および極の配置とDC利得解析による漸近的安定性の検証。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 原点にゼロを持たない最小LTI系が、状態フィードバック制御により負虚数にできる条件は何か？
• RQ2 出力変換はNI系との状態フィードバック等価性にどのように影響するか？また、このような変換のもとでNI特性は保存されるか？
• RQ3 状態フィードバックによるNI系、OSNI系、SSNI系との等価性の必要十分条件は何か？
• RQ4 提案手法は、厳密に負虚数（SNI）不確実性を有する不確実系をロバストに安定化できるか？また、漸近的安定性を保証する条件は何か？
• RQ5 先行研究が均一な相対次数を仮定するのに対し、本手法は相対次数1および2のモードを併存する系をどのように処理するか？

主な発見

• 最小LTI真の有理的系が、かつてその系が相対次数 ≤2 かつ弱最小位相である系に出力変換可能であるとき、かつそのときに限って、状態フィードバックによりNI系と等価である。
• 系が状態フィードバックによりOSNI系と等価であることは、かつてその系が状態フィードバックによりNI系と等価であるときであり、両クラスの等価性が確立される。
• 系が状態フィードバックによりSSNI系と等価であることは、かつてその系が相対次数ベクトル {1,…,1} を持ち、最小位相であるときである。
• 数値例において、閉ループ系のすべての極が開左半平面にあり、かつすべての ω>0 に対して j[R(jω)−R(jω)∗]≥0 を満たすため、NI特性が確認された。
• 名目閉ループ系のDC利得は R(0) = [[0.25, 0.25], [0.25, 0.5]] であり、λ_max(R(0)) = 0.6545 である。これにより λ_max(R(0)Δ(0)) < 1 が満たされ、SNI不確実性下での漸近的安定性が保証された。
• 制御入力は明示的に u = [[0, -3, -1, -2], [-3, -6, 14.5, -1.5]]x + [[1, 1], [0, -1]]v として計算され、変換された系でNI挙動が達成された。