[論文レビュー] Necessary and Sufficient Conditions for the Trumping Relation

S. Turgut|ArXiv.org|Jul 3, 2007

Quantum Mechanics and Applications被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、量子もつれのカタリスト作用におけるトランプイング関係の必要十分条件を確立し、2つのシュミット係数列がトランプイング関係を満たすのは、ν < 1 に対してそのべき平均が厳密に減少し、ν > 1 に対して厳密に増加し、かつもつれエントロピーが厳密に減少する場合に限ることを証明している。この結果は、標準的マジョライゼーションを超えたカタリスト的もつれ変換の完全な解析的基準を提供する。

ABSTRACT

Entanglement catalysis allows one to convert certain entangled states into others by the temporary involvement of another entangled state (so-called catalyst), where after the conversion the catalyst is returned to the same state. For bipartite pure entangled states that can be transformed in this way with unit probability, the respective Schmidt coefficients are said to satisfy the trumping relation, a mathematical relation which is an extension of the majorization relation. This article provides all necessary and sufficient conditions for the trumping relation in terms of the Schmidt coefficients. The coefficients should satisfy strict inequalities for the entropy of entanglement and for power means excluding the special power 1.

研究の動機と目的

• 2つのシュミット係数列が標準的マジョライゼーションを超えてトランプイング関係を満たすためのすべての必要十分条件を特定すること。
• 確率1で実現可能なカタリスト的もつれ変換に関する、量子情報理論における未解決問題を解明すること。
• 単一コピーの双対純粋状態変換に適用可能な、べき平均およびもつれエントロピーを用いたトランプイング関係の完全な特徴付けを提供すること。
• 望ましいもつれ変換を可能にするカタリストが存在するかどうかを判断するための厳密な数学的枠組みを確立すること。

提案手法

• 本稿では、トランプイング関係を、x⊗c ≺ y⊗c を満たすカタリスト列 c の存在として定義する。ここで ≺ はマジョライゼーションを表す。
• 主な解析的道具として、べき平均 Aν(x) = (1/n ∑xi^ν)^(1/ν) およびもつれエントロピー σ(x) = -∑xi ln xi を導入する。
• 著者らは、x ≺T y が成り立つのは、すべての ν ∈ (-∞,1) に対して Aν(x) > Aν(y)、すべての ν ∈ (1,∞) に対して Aν(x) < Aν(y)、かつ σ(x) > σ(y) であるとき、かつそのときに限ることを証明している。すべての不等号は厳密である。
• べき平均の ν に関する連続性および微分可能性の解析を用い、対数差分および係数列の摂動に関する境界を活用する。
• 摂動論を用いた列の解析を採用し、べき平均およびエントロピーの偏差を制御するための距離 D(x, x̄) を用いる。
• 対数項を含む不等式およびべき平均の対数比の導関数の境界を用いて、理論的結果を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下でカタリストが、2つの双対純粋もつれ状態間の決定的LOCC変換を可能にするか？
• RQ2 マジョライゼーションを超えて、トランプイング関係に対する完全な解析的基準は存在するか？
• RQ3 べき平均およびもつれエントロピーは、シュミット係数のトランプイング関係をどのように共同で特徴付けるか？
• RQ4 べき平均およびエントロピーにおける厳密な不等号が、与えられた変換に対してカタリストの存在を完全に決定できるか？
• RQ5 ν = 1 の場合（相加平均）はトランプイング関係において果たす役割は何か？なぜこの場合の不等号は不等式から除外されるのか？

主な発見

• トランプイング関係 x ≺T y が成り立つのは、すべての ν < 1 に対して Aν(x) > Aν(y) が成り立つとき、かつそのときに限る（厳密な不等号を伴う）。
• トランプイング関係は、すべての ν > 1 に対して Aν(x) < Aν(y) が成り立つ必要がある（厳密な不等号を伴う）。
• もつれエントロピーは、σ(x) > σ(y) が成り立つ必要がある（厳密な不等号を伴う）。
• これらの条件は必要十分であり、暗黙的に ∑xi = ∑yi を強制することで正規化を保証する。
• べき平均の不等式は、カタリスト列の明示的構成を要せず、トランプイング関係を完全に特徴付ける。
• この結果は、トランプイング関係が ν ≠ 1 のすべての ν におけるべき平均およびエントロピーの振る舞いによって完全に決定されることを示唆する。