[論文レビュー] Necessary and Sufficient Conditions in the Problem of Optimal Investment with Intermediate Consumption

Oleksii Mostovyi|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 30被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、不完全な半マルティンゲール金融市場における中間消費を伴う最適投資戦略の存在について、必要十分条件を確立する。両方の値関数（期待効用と期待共役効用）の有限性が、一意な最適化子の存在、値関数の共役性、イナダ条件の満たし方といった主要な結果が成り立つために必要かつ十分であることを示している。これは、一般の確率的場による効用関数と消費タイミングのための確率的クロックを想定した上での結果である。

ABSTRACT

We consider a problem of optimal investment with intermediate consumption in the framework of an incomplete semimartingale model of a financial market. We show that a necessary and sufficient condition for the validity of key assertions of the theory is that the value functions of the primal and dual problems are finite

研究の動機と目的

• 中間消費を伴う不完全市場における効用最大化の核心的結果の有効性のための必要十分条件を特定すること。
• 終期消費のケースにとどまらず、確率的場による効用関数と消費タイミングのための確率的クロックを含めた双対枠組みを拡張すること。
• 従来の理論におけるギャップを解消し、単なる十分条件ではなく、必要かつ十分な条件を提供すること。
• 原値関数と双対値関数が最適消費および資産プロセスの存在性と正則性を保証する役割を明確にすること。
• 原値関数と双対値関数の両方の有限性が、効用最大化理論の標準的結論が成立するための最小限の要件であることを示すこと。

提案手法

• 消費タイミングをモデル化するための確率的クロックを用いて、中間消費を伴う最適投資問題を定式化する。
• 効用確率的場の凸共役を用いて双対問題を導入し、双対値関数を期待共役効用の下界として定義する。
• 同等の局所マルティンゲールデフレーターの集合 Z を用い、Z に支配される過程の測度収束による閉包として双対ドメイン Y を構成する。
• 特に双対定理（双対性定理）を用いて、原値関数と双対値関数の間の共役関係を確立するため、位相線形空間における抽象的双対理論を適用する。
• 確率過程のファトウ収束とオプショナル分解を用いて、双対性による許容可能な消費プロセスを特徴づける。
• すべてのデフレーターにおける期待ペイオフの有界性と消費プロセスの許容性が同値であることを示し、局所化と部分積分を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 中間消費を伴う不完全な半マルティンゲール市場における最適消費戦略の存在について、必要かつ十分な条件は何か？
• RQ2 確率的場による効用関数を想定した効用最大化において、原値関数と双対値関数の両方の有限性は、最適化子の存在と一意性にどのように関係するか？
• RQ3 双対ドメインを同等の局所マルティンゲールデフレーターの集合 Z としてとれるか、それとも双対性が成立するためにはより大きな集合 Y が必要か？
• RQ4 原値関数と双対値関数が共役性およびイナダ条件を満たすための条件は何か？
• RQ5 中間消費の設定において、原値関数の有限性（u(x) > -∞）は非自明な条件であるか、そして双対有限性とどのように作用し合うか？

主な発見

• 中間消費を伴う効用最大化の主要な結果が有効であるための必要十分条件は、すべての x > 0 に対して原値関数 u(x) > -∞ であり、かつすべての y > 0 に対して双対値関数 v(y) < ∞ であるという、両関数の同時有限性である。
• これらの有限性条件のもとで、原値関数と双対値関数は共役関係にあり、v(y) = sup_x (u(x) - xy) および u(x) = inf_y (v(y) + xy) が成り立ち、両関数は連続的微分可能で、厳密に凹型であり、イナダ条件を満たす。
• すべての x > 0 に対して、一意な最適消費プロセス ˆc(x) が存在し、すべての y > 0 に対して、一意な双対最適化子 ˆY(y) が存在する。また、y = u′(x) のとき、duality 関係 ˆYt(y) = U′(t, ω, ˆct(x)) がほとんど everywhere で成り立つ。
• duality 関係 ∫₀^∞ ˆct(x) ˆYt(y) dκt = xy がほとんど everywhere で成り立ち、これは限界効用価格の経済的直観を裏付ける。
• 双対値関数は、最小化子が Z の外にある可能性があるものの、同等の局所マルティンゲールデフレーターの集合 Z 上でも同値に定義可能であり、原値関数は許容可能な消費プロセスの適切な部分集合 B 上で表現可能である。
• 許容可能な消費プロセスの集合 A と双対プロセスの集合 Y は、いずれも凸的で、固体的であり、測度収束（dκ × P）の位相において閉じている。これにより、双対定理を用いて双対性を確立できる。