[論文レビュー] Necessary conditions for the depth formula over Cohen-Macaulay local rings

Hailong Dao, Olgur Celikbas|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 27被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、コhen-マカウレイ局域環上での深さ公式が成り立つための必要条件を確立し、有限な完全交差次元および低高さ局所化の正則性の下で、すべてのTorモジュールの消滅が深さ公式が成り立つために必要かつ十分であることを示している。主要な結果として、アウスランダーの定理を完全交差へ拡張し、形式的べき級数環のヴェロネーゼ部分環上に非自明な半双対的モジュールが存在しないことを証明している。

ABSTRACT

Let $R$ be a Cohen-Macaulay local ring and let $M$ and $N$ be non-zero finitely generated $R$-modules. We investigate necessary conditions for the depth formula $\depth(M)+\depth(N)=\depth(R)+\depth(M\otimes_{R}N)$ to hold. We show that, under certain conditions, $M$ and $N$ satisfy the depth formula if and only if $\Tor_{i}^{R}(M,N)$ vanishes for all $i\geq 1$. We also examine the relationship between good depth of $M\otimes_RN$ and the vanishing of $\Ext$ modules, with various applications.

研究の動機と目的

• コhen-マカウレイ局域環上での深さ公式が成り立つための必要条件を同定すること。
• TorモジュールとExtモジュールの消滅が、テンソル積の深さとどのように関係するかを調査すること。
• 既知の深さ公式の結果を正則環から完全交差とヴェロネーゼ部分環へ拡張すること。
• 形式的べき級数環のヴェロネーゼ部分環上に非自明な半双対的モジュールが存在しないことを証明すること。
• 孤立特異点条件の下で、Extの消滅を含む基準を確立し、深さ公式が成り立つことを示すこと。

提案手法

• 完全交差次元を用いて、良好なホモロジー的性質を持つモジュールを特徴付ける。
• コhen-マカウレイ環上でのTorモジュールの消滅を応用し、深さ公式のための必要条件を導出する。
• ヴェロネーゼ部分環の除数類群Cl(R)の構造を活用し、反射的モジュールおよびそのテンソル積を分析する。
• 正則双対性を用いてExtモジュールとテンソル積の双対性を活用し、消滅条件を導出する。
• 記号的冪の生成元の最小生成数に対する組合せ的公式を用いて、非自明な反射的テンソル積が存在しないことを除外する。
• 孤立特異点を有する環における導来深さ公式および最大コhen-マカウレイモジュールの性質を応用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コhen-マカウレイ局域環上での深さ公式が成り立つために、すべてのi ≥ 1に対してTor_i^R(M,N) = 0 が成り立つ必要がある条件は何か？
• RQ2 孤立特異点を有する環において、Extモジュールの消滅はテンソル積の深さとどのように関係するか？
• RQ3 最大コhen-マカウレイモジュールを有する完全交差環において、深さ公式はExtの消滅によって特徴付けられるか？
• RQ4 形式的べき級数環のヴェロネーゼ部分環の除数類群の構造は何か？また、これは半双対的モジュールにどのような制約を与えるか？
• RQ5 n > 1 のとき、k[[x1,…,xd]] のヴェロネーゼ部分環上に非自明な半双対的モジュールは存在するか？

主な発見

• 有限な完全交差次元を有するモジュールMとNについて、コhen-マカウレイ局域環R上で、深さ公式が成り立つための必要十分条件は、すべてのi ≥ 1に対してTor_i^R(M,N) = 0 である。ただし、すべての高さ ≤ edim(R) − depth(R) の素イデアルpに対してR_pが正則であるものとする。
• 孤立特異点を有するコhen-マカウレイ局域環上での最大コhen-マカウレイモジュールMに対して、深さ公式が成り立つための必要十分条件は、すべてのi = 1, ..., dに対してExt^i_R(M, Hom_R(N, ω_R)) = 0 である。
• ヴェロネーゼ部分環R = k[[x1,…,xd]]^(n) は非自明な半双対的モジュールをもたない。任意の半双対的モジュールは、Rまたはその正則モジュールω_Rに同型である。
• R = k[[x1,…,xd]]^(n) の類群におけるイデアル類IとJが、I ⊗_R J が反射的であるならば、IまたはJの少なくとも一方が自由である。
• R = k[[x1,…,xd]]^(n) における類群生成子Lのi番目の記号的冪の最小生成数は、i = 1,…,n−1に対してμ(L^(i)) = (n + d − i − 1)! / (d − 1)! で与えられる。
• ヴェロネーゼ部分環の類群におけるμ(I)μ(J) = μ(IJ) の等式は、パラメータが退化していない限り、IまたはJの少なくとも一方が自明であることを強制する。これにより、非自明な反射的テンソル積が存在しないことが示される。