[論文レビュー] Necessary Optimality Conditions for Continuous-Time Optimization Problems with Equality and Inequality Constraints

Moisés Rodrigues Cirilo do Monte, Valeriano Antunes de Oliveira|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2018

Optimization and Variational Analysis参考文献 23被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、等式制約と不等式制約を併せ持つ連続時間最適制御問題について、第一および第二次の必要最適性条件を確立する。フルランク正則性条件と一様陰関数定理を活用することで、空間 $L_∞([0,T];\mathbb{R}^n)$ において、カーラッシュ＝クーン＝タッカー型の条件と第二次の十分条件を導出する。これは、混合制約を伴うこの設定において、従来、このような条件が得られていなかった文献の空白を埋めるものである。

ABSTRACT

The paper is devoted to obtain first and second order necessary optimality conditions for continuous-time optimization problems with equality and inequality constraints. A full rank type regularity condition along with an uniform implicit function theorem are used in order to establish such necessary conditions.

研究の動機と目的

• 連続時間最適化問題における等式および不等式制約を伴う $L_\infty([0,T];\mathbb{R}^n)$ における必要最適性条件を確立すること。
• この関数空間において等式および不等式制約を組み合わせた問題について、第一および第二次の必要条件が従来の文献に不足していたという問題を解決すること。
• 時間依存の制約に起因する解析的課題に対処するため、フルランク型正則性条件および一様陰関数定理を導入・適用すること。
• これらの制約下で、局所最適性のためのカーラッシュ＝クーン＝タッカー型条件および第二次の条件を導出すること。

提案手法

• PinhoとVinter（1997年）の結果に基づき、一様陰関数定理を用いて、時間にわたる等式制約に対して可測かつ滑らかな解が保証されることを確認する。
• 等式制約のヤコビ行列に対してフルランク正則性条件を課すことにより、陰関数写像の局所的逆写像性および微分可能性を保証する。
• 無限次元版のファルカスの補題およびザングウィルの制約準拠の連続時間版を適用し、必要条件を導出する。
• ラグランジュ双対性を用いて第一の条件を導出し、等式制約に対して $u_i(t)$、不等式制約に対して $v_j(t)$ の乗数を導入する。
• ラグランジュ関数のヘッセ行列 $\nabla^2 L$ を分析し、接錐上で負半定値性を要求することによって第二の条件を確立する。
• ほとんど everywhere で $v_j(t) \geq 0$ である可測乗数関数を用い、証明における符号および可積分性の性質を検証するための補助関数を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続時間最適制御問題における等式および不等式制約を伴う $L_\infty([0,T];\mathbb{R}^n)$ における第一の必要最適性条件は何か？
• RQ2 一様陰関数定理は、時間依存の等式制約に対して可測かつ滑らかな解を保証するためにどのように適用可能か？
• RQ3 混合制約を伴うこの連続時間設定において、局所最適性を保証する第二の条件は何か？
• RQ4 標準的な制約準拠が成立しない状況において、フルランク正則性条件はどのようにして KKT 型の条件を導出可能か？
• RQ5 可測乗数関数およびラグランジュ関数のヘッセ行列の構造は、最適性の検証において果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿は、可測乗数 $u_i(t)$ および $v_j(t)$ を含むカーラッシュ＝クーン＝タッカー型方程式として、第一の必要最適性条件を確立する。ここで $v_j(t) \geq 0$ は $[0,T]$ 上 almost everywhere で成り立つ。
• フルランク正則性条件により、一様陰関数定理の適用が保証され、等式制約に対する可測解の導出が可能になる。
• 第二の必要条件は、ラグランジュ関数のヘッセ行列が接錐に制限された上で負半定値であることを要求する。これは $\int_0^T \gamma'(t) \nabla_{zz}^2 L \gamma(t) dt \leq 0$ として表される。ここで $\gamma \in \bar{N}$ である。
• 証明では、正の測度の集合上で $v_j(t)$ が負であると仮定すると矛盾が生じることを示しており、これにより $v_j(t)$ の a.e. での非負性が裏付けられる。
• 導出された条件は、有界な制御および状態軌道を取り扱う上で極めて重要な空間 $L_\infty([0,T];\mathbb{R}^n)$ において有効である。
• この枠組みにより、等式および不等式制約を併せ持つ連続時間設定における必要条件を提供するという、文献における顕著な空白を埋めることに成功している。