[論文レビュー] Nef and Effective Cones on the Moduli Space of Torsion Sheaves on the Projective Plane

Matthew Woolf|arXiv (Cornell University)|May 7, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用数 23

ひとこと要約

本稿では、$\mathbb{P}^2$ 上の半安定な1次元層のシンプソンのモジュライ空間 $N(\mu,\chi)$ が $\mu \geq 3$ のとき Picard数 2 のモーリー・ドリーム空間であることを確立し、そのネフ錐と有効錐を完全に計算している。幾何的性質と、正則写像の例外的局所の次元といった不変量を用いて、2つのモジュライ空間が同型であるための必要十分条件は $\chi \equiv \pm \chi' \pmod{\mu}$ であることを示している。

ABSTRACT

In this paper, we study the divisor theory of the Simpson moduli space of semistable sheaves of dimension 1 on the projective plane. We prove that these spaces are all Mori dream spaces, and calculate their nef cones. We also study the effective cones of these spaces for most choices of numerical invariants. As a consequence, we work out precisely when two such spaces are isomorphic.

研究の動機と目的

• $\mathbb{P}^2$ 上の半安定な1次元層のシンプソンのモジュライ空間 $N(\mu,\chi)$ の除数論、特にネフ錐と有効錐の構造を理解すること。
• これらのモジュライ空間がモーリー・ドリーム空間であることを証明し、Picard数 2 であるにもかかわらず、よい双有理幾何的性質を有することを保証すること。
• $\mu \geq 3$ のとき、2つのモジュライ空間 $N(\mu,\chi)$ と $N(\mu',\chi')$ が同型である条件を明確に特定すること。
• 有効錐が層のコホノロジー的不変量（例：$h^0(E \otimes \mathcal{F})$）とどのように関係するか、ネフ錐が対称積の曲線への写像といった幾何的構造とどのように関係するかを明らかにすること。

提案手法

• 導来圏におけるブリッジランド安定的条件を用いて、不安定化対象とウォールクロッシングの挙動を分析する。
• $N(\mu,\chi)$ から $\mathbb{P}^2$ 内の次数 $\mu$ の曲線の空間への標準写像を構成し、$\mathcal{O}(1)$ を引き戻すことで、特徴的な除数類を定義する。
• ネフ錐の第二の辺を、曲線の線分束を用いて記述されるファイバーを持つ正則写像による、アーマー除数の引き戻しとして同定する。
• 固定されたベクトル束 $E$ に対して $h^0(E \otimes \mathcal{F})$ が低下する部分集合から生じる除数類を特定することで、有効錐を計算する。
• ジョルダン＝ホルダー分解と S-同値類を用いて、半安定層およびそのモジュライを分析する。
• $N(\mu,\chi)$ から $\mathbb{P}^{\binom{\mu+2}{2}-1}$ への標準写像 $f$ の例外的局所の解析を行い、その次元が $|\epsilon|$ に依存することを示す。ここで $\epsilon = \chi - \frac{1}{2}\mu(\mu-3) \mod \mu$ である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathbb{P}^2$ 上の1次元層のモジュライ空間 $N(\mu,\chi)$ のネフ錐の構造はいかなるものか？
• RQ2 有効錐 $N(\mu,\chi)$ は、層のコホノロジー的不変量（例：$h^0(E \otimes \mathcal{F})$）とどのように関係するか？
• RQ3 2つのモジュライ空間 $N(\mu,\chi)$ と $N(\mu',\chi')$ が同型であるのはどのような条件下か、特に $\mu \geq 3$ のとき。
• RQ4 写像 $f: N(\mu,\chi) \to \mathbb{P}^{\binom{\mu+2}{2}-1}$ が層の台を写像するという幾何的性質は、モジュライ空間の双有理型にどのように反映されるか？
• RQ5 $\epsilon = \chi - \frac{1}{2}\mu(\mu-3) \mod \mu$ というパラメータは、例外的局所の次元を通じて、モジュライ空間を区別する役割を果たすか？

主な発見

• すべての $\mu \geq 3$ に対して、モジュライ空間 $N(\mu,\chi)$ はモーリー・ドリーム空間である。これは、Picard数 2 であるにもかかわらず、良好な双有理幾何的性質を有することを保証する。
• ネフ錐は2つの辺を持つ：1つは、次数 $\mu$ の曲線の空間から $\mathcal{O}(1)$ を引き戻したもので、もう1つは、ファイバーが曲線の対称積である正則写像によるアーマー除数の引き戻しである。
• 有効錐は、標準類と、固定されたベクトル束 $E$ に対して $h^0(E \otimes \mathcal{F})$ が低下する部分集合から生じる除数類によって生成される。この除数類は第二の辺上にある。
• $\mu \geq 3$ のとき、$N(\mu,\chi) \cong N(\mu,\chi')$ となるのは $\chi \equiv \pm \chi' \pmod{\mu}$ のときであり、同型型は $\epsilon = \chi - \frac{1}{2}\mu(\mu-3) \mod \mu$ の絶対値によって決定される。
• 標準写像 $f: N(\mu,\chi) \to \mathbb{P}^{\binom{\mu+2}{2}-1}$ の例外的局所の次元は $|\epsilon|$ であり、$\chi \not\equiv \pm \chi' \pmod{\mu}$ のとき、非同型なモジュライ空間を区別する。
• $\mu = 3$ のとき、写像 $N(3,1) \to \mathbb{P}^2$ は、滑らかな立方曲線上の線分束を定義する点を記憶するモルフィズムであり、この写像は双有理的である。