[論文レビュー] Negative curves on very general blow-ups of P^2

Tommaso de Fernex|ArXiv.org|Dec 29, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、非常に一般な点での ℙ² の吹き上げにおいて、自己交叉が負である任意の整数的曲線が、その ℙ² への像に二重点特異点を持つ場合には、(-1)-曲線であることを示す新しい証拠を提供する。証明は、Kodaira-Spencer写像を分析する二パラメータの変形技術を用い、その曲線が有理曲線であり、自己交叉が -1 であることを、その正規化上の線形系を通じて示している。

ABSTRACT

A conjecture, related to the Nagata conjecture and the Segre-Harbourne-Gimigliano-Hirschowitz conjecture, states that every integral curve with negative self-intersection on the blow-up of $¶^2$ at a set of points in very general position is a (-1)-curve. In this paper we verify this conjecture for all curves whose image on $¶^2$ is a curve with a singularity of multiplicity two at one of the centers of the blow-up.

研究の動機と目的

• SHGH予想に対する証拠を提供すること。具体的には、ℙ² の吹き上げにおける負の曲線について、予想の弱形を検証すること。
• 非常に一般な点での ℙ² の吹き上げにおける有効曲線の錐の幾何を調査すること。
• ℙ² への像に二重点特異点を持つ曲線が、吹き上げにおいて必ず (-1)-曲線であることを確立すること。
• 以前の線形系に関する特異性の増加を要請する結果を一般化し、任意の滑らかで射影的な曲面へと結果を拡張すること。
• 特異度（二重点）の仮定のみで曲線が (-1)-曲線であることが導かれるという、この文脈において画期的な条件を示すこと。

提案手法

• 変形空間の異なる方向から、Kodaira-Spencer写像を調べるために、二パラメータの変形族を用いる。
• 二重点特異点の近傍における局所的べき級数展開を通じて、曲線の正規化上の正規束を分析する。
• Kodaira-Spencer写像を適用し、特異点の逆像における正規化写像の下での、正規束の切断が消えることを示す。
• 切断の消える次数を用いて、切断の除数の次数を評価し、正規化上に次数 3 の除数が得られることを示す。
• 正規化上に次数 1 の線束のペンキルを構成し、それが ℙ¹ に同型であることを示す。これにより、曲線が有理曲線であることが証明される。
• 通常のノード特異点とカスプ特異点を区別し、後者はより高い消える次数を生じさせることから、矛盾を導くことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℙ² への像に二重点特異点を持つ曲線が、吹き上げにおいて (-1)-曲線以外の負の曲線である可能性はあるか？
• RQ2 二重点特異点の存在が、非常に一般な点での ℙ² の吹き上げにおいて、曲線が (-1)-曲線であることを示唆するだけで十分か？
• RQ3 二パラメータの変形族から得られる Kodaira-Spencer 写像は、曲線の有理性と自己交叉をどのように検出するか？
• RQ4 像が通常でない二重点（例：カスプ）を持つ場合、曲線の自己交叉にはどのような影響があるか？
• RQ5 本研究で用いられた手法は、他の曲面や異なる特異度条件へと一般化可能か？

主な発見

• 非常に一般な点での ℙ² の吹き上げにおいて、自己交叉が負である任意の整数的曲線が、その ℙ² への像に二重点特異点を持つならば、それは (-1)-曲線である。
• このような曲線の正規化は、正規化上の正規束の引き戻しの切断を用いて構成されたペンキルにより、ℙ¹ に同型であることが示された。
• 曲線の自己交叉数は正確に -1 であり、これは切断の除数の次数が 3 であることと、付随公式から導かれる。
• カスプ特異点の場合は、切断が少なくとも 4 項の次数で消えることになり、次数の上限と矛盾するため、不可能である。
• この結果は ℙ² に限らず、任意の滑らかで射影的な曲面に対しても成り立ち、以前の結果よりも追加の特異性に関する仮定を不要にした。
• 二パラメータの変形アプローチは、線形系の次元のギャップに依存する従来の手法とは異なり、有理性と自己交叉を検出する画期的な手法を提供する。