[論文レビュー] Negative Entropy, Pressure and Zero temperature: a L.D.P. for stationary Markov Chains on [0,1]

Artur O. Lopes, Joana Mohr+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2008

Markov Chains and Monte Carlo Methods被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、[0,1]^N 上の絶対連続マルコフ確率測度 µβ の族に対して、零温度において一意の最大化定常マルコフ確率測度 µ∞ に弱収束する大偏差原理（LDP）を確立する。C² 型の正則性とねじれ条件（∂²A/∂x∂y = 0）の下で、[0,1]^2 上の最大化測度 ν∞ が単調なグラフを持ち、Mañé の意味で一意であることを証明し、力学系のエルゴディック最適化と熱力学形式主義を変分原理によって結びつける。

ABSTRACT

We analyze some properties of maximizing stationary Markov probabilities on the (modified) Bernoulli space [0, 1] N, which means we consider stationary Markov chains with state space S = [0, 1]. More precisely, we consider ergodic optimization for a continuous potential A, where A: [0, 1] N → R which depends only on the two first coordinates of [0, 1] N. We are interested in finding stationary Markov probabilities µ ∞ on [0, 1] N that maximize the value ∫ Adµ, among all stationary Markov probabilities µ on [0, 1] N. This problem correspond in Statistical Mechanics to the zero temperature case for the interaction described by the potential A. The main purpose of this paper is to show, under the hypothesis of uniqueness of the maximizing probability, a Large Deviation Principle for a family of absolutely continuous Markov probabilities µβ which weakly converges to µ∞. The probabilities µβ are obtained via an information we get from a Perron operator and they satisfy a variational principle similar to the pressure in Thermodynamic Formalism. As the potential A depends only on the first two coordinates, instead of the probability µ on [0, 1] N, we can consider its projection ν on [0, 1] 2. We look at the problem in both ways. If µ ∞ is the maximizing probability on [0, 1] N, we also have that its projection ν ∞ is maximizing for A. The hypothesis about stationary on the maximization problem can also be seen as a transhipment problem. Under the hypothesis of A being C 2 and the twist condition, that is, ∂2 A ∂x∂y (x, y) = 0, for all (x, y) ∈ [0, 1]2, we show the graph property of the maximizing probability ν on [0, 1] 2. Moreover, the graph is monotonous. We also show that, in the sense of Mañé, the maximizing probability is unique. Finally, we exhibit a separating sub-action for

研究の動機と目的

• 連続的なポテンシャル A が最初の2つの座標にのみ依存する [0,1]^N 上の最大化定常マルコフ確率測度を分析すること。
• 零温度において µ∞ に弱収束する µβ 確率測度族に対して大偏差原理（LDP）を確立すること。
• µ∞ を [0,1]^2 に射影した ν∞ が、ねじれ条件の下で最大化され、単調なグラフを持つことの証明。
• C² 正則性およびねじれ条件の下で、Mañé の意味での最大化測度の唯一性を証明すること。
• 最大化測度に対して分離可能なサブ作用を構成し、エルゴディック最適化と熱力学形式主義を結びつけること。

提案手法

• Perron 演算子の使用により、β → ∞ のとき µ∞ に弱収束する絶対連続マルコフ確率測度 µβ の族を構成すること。
• µβ 族に対して、熱力学形式主義における圧力に類似した変分原理を適用すること。
• 測度 µ∞ を ν∞ に射影することで、[0,1]^N から [0,1]^2 への問題の簡略化を図り、2次元状態空間における解析を可能にすること。
• 最大化測度の構造的性質を導出するため、すべての (x,y) ∈ [0,1]^2 に対して ∂²A/∂x∂y(x,y) = 0 を満たすねじれ条件を課すこと。
• C² 正則性およびねじれ条件の下で、Mañé の最小性の概念を用いて、最大化測度の一意性を確立すること。
• 最大化測度を特徴付けるための分離可能なサブ作用を構成し、変分原理を支援すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 µβ 確率測度族が [0,1]^N 上の零温度における最大化測度 µ∞ に収束する場合、大偏差原理が成立するか？
• RQ2 ねじれ条件の下で、µ∞ を [0,1]^2 に射影した ν∞ がどのような構造的性質を持つのか？
• RQ3 A が C² でねじれ条件を満たすとき、最大化測度 µ∞ が Mañé の意味で一意であるか？
• RQ4 最大化測度 ν∞ に対して、明示的な分離可能なサブ作用を構成できるか？
• RQ5 µβ に対する変分原理は、零温度極限における熱力学形式主義の圧力関数とどのように関係するか？

主な発見

• ねじれ条件 ∂²A/∂x∂y = 0 の下で、[0,1]^2 上の最大化測度 ν∞ は単調なグラフを持ち、座標間の決定的関係を示す。
• A が C² でねじれ条件を満たすとき、[0,1]^N 上の最大化測度 µ∞ は Mañé の意味で一意である。
• 測度族 µβ は、相対エントロピーとポテンシャル A に関連するレート関数をもつ大偏差原理を満たし、β → ∞ のとき µ∞ に弱収束する。
• µ∞ を [0,1]^2 に射影した ν∞ はポテンシャル A に関して最大化され、[0,1]^N 上の最適化問題は [0,1]^2 上に同値に還元可能である。
• 最大化測度 ν∞ に対して分離可能なサブ作用が存在し、エルゴディック最適化の文脈における変分的特徴づけを提供する。
• µβ に対する変分原理は、熱力学形式主義における圧力関数を模倣しており、エルゴディック最適化と統計力学の零温度極限との間の橋渡しを果たす。