[論文レビュー] Negative Entropy, Zero temperature and stationary Markov Chains on the interval

Artur O. Lopes, Joana Mohr+2 more|ArXiv.org|Jun 5, 2008

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 37被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、[0,1]^N 上のシフト写像に対して、2つの座標に依存するポテンシャル関数をもつエルゴディック最適化を研究し、絶対連続な定常マルコフ測度 μ_β が零温度極限で弱収束する唯一の最大化測度 μ_∞ に至ることを示す。C² 条件およびねじれ条件の下で、最大化測度は単調なグラフ性質を示し、一般にはマニェの意味で一意的であり、明示的に構成された分離型サブ作用素が得られる。

ABSTRACT

We analyze some properties of maximizing stationary Markov probabilities on the Bernoulli space $[0,1]^\mathbb{N}$, More precisely, we consider ergodic optimization for a continuous potential $A$, where $A: [0,1]^\mathbb{N} o \mathbb{R}$ which depends only on the two first coordinates. We are interested in finding stationary Markov probabilities $μ_\infty$ on $ [0,1]^\mathbb{N}$ that maximize the value $ \int A d μ,$ among all stationary Markov probabilities $μ$ on $[0,1]^\mathbb{N}$. This problem correspond in Statistical Mechanics to the zero temperature case for the interaction described by the potential $A$. The main purpose of this paper is to show, under the hypothesis of uniqueness of the maximizing probability, a Large Deviation Principle for a family of absolutely continuous Markov probabilities $μ_β$ which weakly converges to $μ_\infty$. The probabilities $μ_β$ are obtained via an information we get from a Perron operator and they satisfy a variational principle similar to the pressure. Under the hypothesis of $A$ being $C^2$ and the twist condition, that is, $\frac{\partial^2 A}{\partial_x \partial_y} (x,y) eq 0$, for all $(x,y) \in [0,1]^2$, we show the graph property.

研究の動機と目的

• σ-不変測度のうち ∫A dμ を最大化する [0,1]^N 上の定常マルコフ確率測度 μ_∞ を特定すること。
• ペロン作用素から導かれる絶対連続な定常マルコフ測度 μ_β の族の零温度極限（β→∞）を分析すること。
• μ_β → μ_∞ の収束に関して大偏差原理を確立すること。
• C² 条件およびねじれ条件の下で、[0,1]² 上の最大化測度 ν_∞ がグラフ性質および単調性を示すことを証明すること。
• マニェの意味で最大化測度の一意性を示し、A に対して分離型サブ作用素を構成すること。

提案手法

• L_βφ(x) = ∫ e^{βA(x,y)} φ(x) dx として定義されるペロン作用素 L_β 及びその随伴作用素を用い、固有関数と固有値を生成し、不変測度を介して μ_β を得る。
• クリーン＝ルトマンの定理を適用して、作用素に対して正の固有関数および固有値の存在を保証する。
• μ の射影 ν により、問題を [0,1]² に還元する。ここで ν は (x₁,x₂) ↦ (x₁,x₂) による μ のプッシュフォワードである。
• m = sup_μ ∫A dμ を最大エルゴディック平均として定義し、m は零温度極限における圧力に一致する。
• h(x,y) = S(x,y) を経路の下での下界として定義し、h(x,y) ≤ -A(x,y) + m を満たす。
• A のホルダー連続性を用いて、関数 S_x(y) の一様ホルダー連続性を示し、正規化されたサブ作用素の級数を用いて分離型サブ作用素 u を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 絶対連続な定常マルコフ測度 μ_β の族は、β→∞ のとき大偏差原理を満たすか？
• RQ2 ポテンシャル A に対して、[0,1]^N 上の最大化測度 μ_∞ が一意的となる条件は何か？
• RQ3 μ_∞ から射影された測度 ν_∞ は、μ_∞ から引き継いだグラフ性質および単調性を持つのか？
• RQ4 C² ポテンシャル A がねじれ条件を満たす場合、明示的に分離型バックワードサブ作用素を構成できるか？
• RQ5 μ_β の零温度極限は、最大化測度 μ_∞ の台とどのように関係するか？

主な発見

• μ_β の族は、エントロピーをペナルティとする圧力に関連するレート関数をもつ大偏差原理を満たし、μ_∞ からの逸脱の指数的減衰を保証する。
• C² 正則性およびねじれ条件 ∂²A/∂x∂y ≠ 0 の下で、[0,1]² 上の最大化測度 ν_∞ は単調なグラフを示す。すなわち、ν_∞ は単調関数のグラフ上に台を持つ。
• 最大化測度 μ_∞ は一般にはマニェの意味で一意的であり、すなわち、残渣的集合に属するポテンシャル A に対して一意性が成り立つ。
• max_y {u(y) - u(x) + A(x,y)} < m (x ∉ Ω(A) のとき) および = m (x ∈ Ω(A) のとき) を満たす分離型バックワードサブ作用素 u が存在する。ここで Ω(A) は再帰的点の集合である。
• S_x(y) = x から y への経路に沿った ∑(A - m) の下界として定義され、S_x(y) ≤ -A(x,y) + m を満たし、A と同じ指数の一様ホルダー連続性を示す。
• 構成されたサブ作用素 u は、正規化されたバックワードサブ作用素の無限和として一様収束する凸結合であり、連続性および分離性を保証する。