[論文レビュー] Negative Imaginary Systems Theory for Nonlinear Systems: A Dissipativity Approach

Ahmed G. Ghallab, Ian R. Petersen|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2022

Piezoelectric Actuators and Control被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、入力と出力の微分を含む時間領域の供給レートを用いた消費性フレームワークを用いて、非線形システムへの負の虚数的（NI）システム理論の一般化を提示する。非線形負の虚数的（NNI）システムと弱く厳密にNNI（WS-NNI）コントローラーの正帰還相互接続におけるロバスト漸近安定性を確立し、質量-ばね-ダンパー系の例を通じて検証し、自由運動を有するシステムへと拡張する。

ABSTRACT

Negative imaginary (NI) systems theory is a well-established system theoretic framework for analysis and design of linear-time-invariant (LTI) control systems. In this paper, we aim to generalize negative imaginary systems theory to a class of nonlinear systems. Based on the time domain interpretation of the NI property for LTI systems, a formal definition in terms of a dissipativity with an appropriate work rate will be used to define the nonlinear negative imaginary (NNI) property for a general nonlinear system. Mechanical systems with force actuators and position sensors are nonlinear negative imaginary according to this new definition. Using Lyapunov stability theory, we seek to establish a nonlinear generalization of the NI robust stability result for positive feedback interconnections of NNI systems. An example of a nonlinear mass-spring-damper system with force as input and displacement of the mass as output will be presented to illustrate the applicability of the NNI stability result. Furthermore, the case of NI systems with free motion will be investigated in the nonlinear domain based on the dissipativity framework of NNI systems.

研究の動機と目的

• 時間領域の消費性フレームワークを用いて、線形負の虚数的（NI）システム理論を非線形系のクラスへと拡張すること。
• 入力と出力の時間微分を含む供給レートに基づく、形式的な非線形負の虚数的（NNI）性質の定義を提示すること。
• 最小限の仮定の下で、NNIシステムと弱く厳密にNNI（WS-NNI）コントローラーの正帰還相互接続におけるロバスト漸近安定性を確立すること。
• 自由運動を有するシステムを含むNNIフレームワークの拡張、特に積分器を直列に接続した場合の取り扱い。
• 非線形質量-ばね-ダンパー系を用いた応用の提示と、リャプノフに基づく解析による理論的結果の検証。

提案手法

• 供給レート $ \sigma(y, u) = \dot{y}^T u $ を用いた消費性フレームワークにより、NNI性質を定義し、入力から出力微分へのエネルギーの流れを捉える。
• リャプノフ安定性理論を用いて、正帰還相互接続における閉ループ系の漸近安定性を証明する。
• 状態空間表現 $ \Sigma_1 $ を導入し、$ \dot{\eta}_1 = f_1(\eta_1) + g_1(\eta_1)\xi $、$ y_1 = h_1(\eta_1) $ と定義する。ここで $ \Sigma_1 $ はNNIであり、ゼロ状態可観測性を満たす。
• コントローラー $ \Sigma_2 $ を入力アフィン非線形系 $ \dot{\eta}_2 = f_2(\eta_2) + g_2(\eta_2)u_2 $、$ y_2 = h_2(\eta_2) $ としてモデル化し、弱く厳密にNNI（WS-NNI）性質を有するものとする。
• NNIおよびWS-NNI性質を活用するリャプノフ関数候補を構築し、$ \dot{V} \leq 0 $ を保証することで、平衡点への漸近収束を確立する。
• 自由運動を有するシステムへの拡張として、非線形系と積分器の直列接続を分析し、特定の条件下でその系が依然としてNNIであることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間領域の消費性フレームワークを用いて、線形系から非線形系への負の虚数的性質の正式な一般化はどのように可能か？
• RQ2 非線形負の虚数的（NNI）システムと弱く厳密にNNI（WS-NNI）コントローラーの正帰還相互接続において、ロバスト漸近安定性を保証する条件は何か？
• RQ3 NNIフレームワークは、特に直列に接続された積分器を含むシステムへと拡張可能か？
• RQ4 提案されたNNI定義は、力入力と変位出力を持つ機械的質量-ばね-ダンパー系のような物理系にどのように適用可能か？
• RQ5 非線形系がNNI性質を満たすために必要な十分かつ必要条件は、システム構造および供給レートに関してどのようなものか？

主な発見

• 供給レート $ \sigma(y, u) = \dot{y}^T u $ を用いた消費性に基づく、非線形負の虚数的（NNI）システムの形式的定義を提案し、LTI-NI性質を非線形領域に一般化した。
• 力アクチュエータと位置センサを備えた機械的システムが、提案された定義のもとでNNIであることが証明され、物理的妥当性が裏付けられた。
• ゼロ状態可観測性および局所リプシッツ連続性などの弱い仮定の下で、NNIプラントとWS-NNIコントローラーの正帰還相互接続におけるロバスト漸近安定性が確立された。
• 力入力と変位出力を持つ非線形質量-ばね-ダンパー系がNNI条件を満たし、リャプノフ解析により閉ループ安定性が証明された。
• 自由運動を有するシステムへの拡張：入力にアフィンな非線形系と積分器の直列接続は、適切な条件下でNNIの性質を保持することが示された。
• 安定性結果は、$ \dot{V} \leq 0 $ を保証するリャプノフ関数の構築により検証され、閉ループ系の原点における漸近安定性が得られた。