[論文レビュー] Negative Imaginary Systems Theory in the Robust Control of Highly Resonant Flexible Structures

Ian R. Petersen|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2013

Piezoelectric Actuators and Control参考文献 48被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、負虚数（NI）システム理論を用いて、モデル外のダイナミクスやパrameterの不確実性に対して安定性を保証する、高振動数の柔軟構造物向けのロバスト制御フレームワークを提案する。主な貢献は、DCループ利得が1未満である限り、NIシステムと厳密NI（SNI）システムの正帰還接続が内部的に安定であることを示す安定性定理であり、これにより、センサとアクチュエータが同相配置の構造物に対するロバストなコントローラー設計が可能になる。

ABSTRACT

This paper covers recent developments in the theory of negative imaginary systems and their application to the control of highly resonant flexible structures. The theory of negative imaginary systems arose out of a desire to unify a number of classical methods for the control of lightly damped structures with collocated force actuators and position sensors including positive position feedback and integral force feedback. The key result is a stability result which shows why these methods are guaranteed to yield robust closed loop stability in the face of unmodelled spillover dynamics. Related results to be presented connect the theory of negative imaginary systems to positive real systems theory and a negative imaginary lemma has been established which is analogous to the positive real lemma. The paper also presents recent controller synthesis results based on the theory of negative imaginary systems.

研究の動機と目的

• 航空宇宙システムやナノポジショニングデバイスを含む、高共振性の柔軟構造物におけるロバストな振動制御の課題に対処すること。
• 正の位置フィードバックや積分力フィードバックといった古典的制御手法を、統一的な理論的枠組みに統合すること。
• スパilloverダイナミクスやパrameterの不確実性に対してロバストであるように、解析およびコントローラー設計のための体系的手段を提供すること。
• 負虚数システムと正実システム理論の間の関係を確立し、安定性解析およびコントローラー設計を可能にすること。
• NI特性を保持し、閉ループ安定性を保証する状態フィードバックおよび出力フィードバックコントローラーの合成技術を開発すること。

提案手法

• 周波数領域の条件により、負虚数（NI）伝達関数行列を定義する：すべての周波数において、周波数応答のヘルミート的虚数部が負半定値である。
• 正実レムマに類似した負虚数レムマを確立し、LMI（線形マトリックス不等式）を用いた安定性およびコントローラー設計を可能にする。
• 伝達関数 R(s) がNIであるための必要十分条件として、sR(s) が正実であることの同値性を示し、NIシステムを既存の正実理論に結びつける。
• 正の位置フィードバック、共鳴、積分共鳴コントローラーなどのコントローラークラスを提案し、これらがすべて厳密負虚数（SNI）であることが証明されている。
• 負虚数レムマを用いて、LMIに基づく状態フィードバックコントローラー合成を実施し、モデル外のダイナミクスに対してロバストな安定性を保証する。
• 同相配置の力アクチュエータと位置センサを備えたMIMO系にこのフレームワークを適用し、不確実またはモデル外のスパilloverダイナミクスが存在しても安定性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の位置フィードバックや積分力フィードバックといった古典的制御手法を、どのように統一的理論枠組みに統合できるか？
• RQ2 モデル外のダイナミクスやパrameterの不確実性を伴う柔軟構造物のロバスト安定性を保証する条件は何か？
• RQ3 負虚数特性を用いて、NIシステムの正帰還接続の安定性条件をどのように導出できるか？
• RQ4 負虚数システムと正実システム理論の関係は何か？この関係をどのようにコントローラー設計に活用できるか？
• RQ5 LMIに基づく合成技術を、NIシステムに適用してロバストな状態フィードバックコントローラーを設計するにはどうすればよいか？

主な発見

• 本稿では、DCループ利得が1未満である限り、負虚数システムと厳密負虚数（SNI）システムの正帰還接続が内部的に安定であることを確立した。
• 力アクチュエータと位置センサが同相配置のすべての柔軟構造物は、負虚数伝達関数行列を持つことが保証され、このようなシステムに対してNI理論を適用することが正当化される。
• 正の位置フィードバックコントローラーは、厳密負虚数（SNI）であることが証明されており、これによりモデル外のダイナミクスや周波数の不確実性に対してもロバストな安定性が保証される。
• 負虚数レムマは、NIシステムのLMIによる特徴付けを提供し、凸最適化を用いた体系的なコントローラー設計を可能にする。
• 定理10により、LMI条件を用いて状態フィードバック制御則を合成可能であり、DC利得が有界で、DCにおいて正半定値の不確実性を有する不確実NIシステムに対してもロバスト安定性を保証する。
• 形式 $ C(s) = [sI + \Gamma\Phi]^{-1}\Gamma $ の積分共鳴コントローラーは、$ \Gamma $ および $ \Phi $ が正定値である場合にSNIであることが示され、柔軟システムにおけるロバストな力制御が可能になる。