[論文レビュー] Negative modes around Einstein-Yang-Mills sphalerons and black holes

Mikhail S. Volkov|ArXiv.org|Sep 25, 1996

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、SU(2)の一般相対性理論-ヤンミルズ理論におけるスフェラロンおよびブラックホール解の周りの微小な摂動を、偶数パリティと奇数パリティの2つのセクターに分ける。奇数パリティセクターでは、ゲージ場関数のノード数をnとして、正確にn個の負のモードが存在することを厳密に証明し、偶数パリティの負のモードはスフェラロン近傍におけるポテンシャル障壁の高さの負の2次変動に関連している。ブラックホール解に対しても同様の結果が成り立つ。

ABSTRACT

The dynamics of small perturbations around sphaleron and black hole solutions in the Einstein-Yang-Mills theory for the gauge group $SU(2)$ is investigated. The perturbations can be split into the two independent sectors in accordance with their parity; each sector contains negative modes. The even-parity negative modes are shown to correspond to the negative second variations of the height of the potential energy barrier near the sphaleron. For the odd-parity sector, the existence of precisely $n$ (the number of nodes of the sphaleron solution gauge field function) negative modes is rigorously proven. The same results hold for the Einstein-Yang-Mills black holes as well.

研究の動機と目的

• 一般相対性理論-ヤンミルズ理論におけるSU(2)ゲージ群を有するスフェラロンおよびブラックホール解の安定性を分析すること。
• これらの解の周りの微小摂動における負のモードの存在と性質を調査すること。
• 負のモードとスフェラロン近傍におけるポテンシャル障壁構造との間の明確な数学的関係を確立すること。
• スフェラロンにおける負のモードに関する知見を、同様の理論におけるブラックホール解へと拡張すること。
• 摂動をパリティで分類し、各セクターにおける負のモードの数を特定すること。

提案手法

• 空間反転における変換性に基づき、摂動を偶数パリティと奇数パリティのセクターに分解すること。
• バリエーショナル法を用いてスフェラロン近傍におけるポテンシャルエネルギーの2次変動を分析し、偶数パリティの負のモードと関連付けること。
• スペクトル解析とステルム＝リウヴィル理論を用いて、奇数パリティセクターにおける正確にn個の負のモードの存在を厳密に証明すること。
• 一般相対性理論-ヤンミルズ系の摂動に対する線形化された運動方程式を導出し、解くこと。
• スフェラロンとブラックホールの周りの摂動構造を比較し、両者で同一のモード行動を示していることを示すこと。
• 微分幾何学および関数解析の数学的技法を用いて、非線形系の線形化されたダイナミクスを扱うこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般相対性理論-ヤンミルズスフェラロンの摂動における奇数パリティセクターに、いくつの負のモードが存在するか？
• RQ2 偶数パリティの負のモードは、ポテンシャルエネルギー障壁の観点から物理的にどのように解釈できるか？
• RQ3 一般相対性理論-ヤンミルズブラックホール解に対しても、スフェラロンと同様の負のモードの性質が成り立つか？
• RQ4 ゲージ場関数のノード数は、奇数パリティセクターにおける負のモード数とどのように関係しているか？
• RQ5 バリエーショナル法およびスペクトル法を用いて、負のモードの存在を厳密に証明できるか？

主な発見

• 奇数パリティセクターにおける摂動に、正確にn個の負のモードが存在する。ここでnはスフェラロン解のゲージ場関数のノード数である。
• 偶数パリティの負のモードは、スフェラロン近傍におけるポテンシャル障壁高さの負の2次変動に対応する。
• 一般相対性理論-ヤンミルズブラックホール解に対しても、スフェラロンと同一の負のモードに関する結果が得られた。
• 摂動解析は明確に2つの独立したパリティセクターに分離され、それぞれが異なるモード構造を持つ。
• 奇数パリティセクターにおけるn個の負のモードの存在の厳密な証明は、ステルム＝リウヴィル理論とスペクトル解析に依存している。
• 負のモードの存在は、古典解の不安定性を示しており、エネルギー障壁における鞍点としての役割と整合的である。