[論文レビュー] Negative Orlicz-Sobolev norms and strongly nonlinear systems in fluid mechanics

Dominic Breit, Andrea Cianchi|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2014

Hydraulic Fracturing and Reservoir Analysis参考文献 49被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、非累乗型非線形性への一般化により、古典的な Nečas の結果を Orlicz-Sobolev 空間に拡張した負ノルム定理を確立する。Orlicz 空間における Bogovskiï 作用素の有界性を証明し、一般の物性則に従う非ニュートン流体モデルにおける圧力再構成にその枠組みを適用することで、有限要素法のための重要な事前推定を得る。

ABSTRACT

We prove a version of the negative norm theorem in Orlicz-Sobolev spaces. A study of continuity properties of the Bogovskii -operator between Orlicz spaces is a crucial step, of independent interest, in our approach. Applications to the problem of pressure reconstruction for Non-Newtonian fluids governed by constitutive laws, which are not necessarily power type, are presented. A key inequality for a numerical analysis of the underlying elliptic system is also derived.

研究の動機と目的

• Lebesgue 空間から Orlicz-Sobolev 空間にまで Nečas の負ノルム定理を一般化すること。
• 独立的に価値のある結果である、Orlicz 空間間における Bogovskiï 作用素の有界性特性を確立すること。
• 強非線形性を示す非ニュートン流体力学における圧力再構成に理論を応用すること。
• 非ニュートン流体モデルにおける楕円型系の数値解析のための重要な事前推定を導出すること。

提案手法

• 左辺の Young 関数の成長とわずかに弱い右辺のノルムをバランスさせることで、Orlicz-Sobolev 空間における負ノルム不等式を導出する。
• Bogovskiï 作用素の勾配の有界性を用いて、Orlicz 空間における発散方程式を分析する。
• 特異積分の理論と Orlicz 空間の双対性を用いて、応力および速度場のノルムで圧力のノルムを制御する。
• 一般の物性則に従う定常非ニュートン Stokes 系に抽象的枠組みを適用する。
• 得られた事前推定を用いて、有限要素近似の安定性推定を確立する。
• Orlicz 空間の埋め込みと Hölder 型不等式を用いて、圧力再構成の誤差を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 累乗型でない一般の Young 関数に対して、古典的な Nečas の負ノルム定理を Orlicz-Sobolev 空間に拡張できるか？
• RQ2 Orlicz 空間における負ノルム不等式が成り立つための、Young 関数 A と B に対する必要十分条件は何か？
• RQ3 Orlicz 空間における Bogovskiï 作用素の有界性はどのように確立できるか？また、その発散方程式の解法への影響は何か？
• RQ4 非累乗型物性則に従う非ニュートン流体モデルにおける圧力の適切な関数空間は何か？
• RQ5 導出された事前推定を用いて、このような系における有限要素法の収束性を証明できるか？

主な発見

• 定理 3.1 で述べられるように、左辺のノルムは右辺よりわずかに弱いが、Orlicz-Sobolev 空間で負ノルム不等式が成立する。
• Young 関数 A に対して適切な条件下で、Bogovskiï 作用素は $L^A(Ω, \mathbb{R}^n)$ から $W^{1,A}_0(Ω, \mathbb{R}^n)$ への有界作用素である。
• 非ニュートン流体系における圧力 $\pi$ は、A と対数的双対関係にある Young 関数 B に対して $L^B(\Omega)$ に属し、適切に定義された圧力空間を保証する。
• 重要な事前推定が得られた：$\|\pi_h - \pi\|_{L^B(\Omega)} \leq C\big(\|\mathbf{H}_h - \mathbf{H}\|_{L^A(\Omega)} + \inf_{\mu_h} \|\mu_h - \pi\|_{L^A(\Omega)}\big)$、これは有限要素近似に対して有効である。
• この推定は、メッシュおよび有限要素空間に関する標準的仮定のもとで、有限要素法による圧力近似の収束を示唆する。
• 結果は、応力が非多項式関数でひずみ率に依存する Eyring-Prandtl モデルなどの非ニュートンモデルに適用可能である。