[論文レビュー] Negative Pressure and Naked Singularities in Spherical Gravitational Collapse

F. I. Cooperstock, Sanjay Jhingan+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 1996

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 12被引用数 34

ひとこと要約

この論文は、球対称重力収縮における非中心的シェルフォーカスィング特異点が、イベントホライズンの背後に隠され続けるか、あるいは裸の特異点となる条件を調査する。共動座標におけるアインシュタイン方程式を用い、弱エネルギー条件を仮定すると、$ p_r / \rho \leq -1/3 $ である負の径方向圧力が裸の特異点を引き起こし、一方 $ p_r / \rho > -1/3 $ では特異点が覆い隠されることが示される。これは、接線方向圧力や質量関数の振る舞いとは無関係に成り立つ。

ABSTRACT

Assuming the weak energy condition, we study the nature of the non-central shell-focussing singularity which can form in the gravitational collapse of a spherical compact object in classical general relativity. We show that if the radial pressure is positive, the singularity is covered by a horizon. For negative radial pressures, the singularity will be covered if the ratio of pressure to the density is greater than -1/3 and naked if this ratio is $\leq -1/3$.

研究の動機と目的

• 球対称重力収縮における非中心的シェルフォーカスィング特異点が、イベントホライズンに隠されたり裸の特異点になったりする条件を特定すること。
• 弱エネルギー条件下で、特に負の径方向圧力が裸の特異点形成に果たす役割を分析すること。
• 座標スライシングに依存しない、特異点の裸・被覆の基準を $ p_r / \rho $ の比に基づいて確立すること。
• 一部の宇宙論的モデルが示すように $ \rho + 3p < 0 $ であっても、$ p_r / \rho \leq -1/3 $ のとき曲率特異点が形成可能かどうかを検討すること。

提案手法

• 共動座標における球対称計量を定式化し、エネルギー運動量テンソル $ T_{ik} = \text{diag}(-\rho, p_r, p_\theta, p_\theta) $ を用いてアインシュタインの場方程式を適用する。
• 弱エネルギー条件を適用：$ \rho \geq 0 $、$ \rho + p_r \geq 0 $、$ \rho + p_\theta \geq 0 $ であり、質量関数 $ m(t,r) $ が非負であることを保証する。
• 質量関数 $ m(t,r) $ を $ m' = 4\pi\rho R^2 R' $ および $ \dot{m} = -4\pi p_r R^2 \dot{R} $ から導出し、特異点への進化を分析する。
• 特異点近傍での $ 2m/R $ の振る舞いを $ R \to 0 $ の極限で分析し、捕獲面（トラップド・サーフェス）が形成されるかを判定する。$ 2m/R < 1 $ であれば、裸の特異点であると判断される。
• 状態方程式 $ p = k\rho $、$ -1 \leq k < 0 $ を満たす完全流体を仮定し、$ R \to 0 $ の極限における $ m(R,r) $ の漸近的挙動を導出し、特異点の性質を特定する。
• $ (R,r) $ に対する座標変換を適用し、主要な漸近形 $ m \approx \frac{1}{2}R - B_0(r) R^{7 + 2(n-3)/(1+k)} $ を導出し、$ R $ におけるべき乗依存性の分析を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 球対称収縮における非中心的シェルフォーカスィング特異点が、どのような条件下で裸の特異点となるか？
• RQ2 負の径方向圧力は、トラップド・サーフェスの形成および特異点の可視性にどのように影響するか？
• RQ3 球対称収縮において、被覆特異点と裸の特異点を分ける臨界的 $ p_r / \rho $ の値は何か？
• RQ4 一部の宇宙論的モデルが示すように $ \rho + 3p < 0 $ であっても、$ p_r / \rho \leq -1/3 $ のとき曲率特異点が形成可能か？
• RQ5 特異点で $ 2m/R < 1 $ であるという基準は、座標スライシングに依存せず、真に裸の特異点の有無を示す信頼できる指標か？

主な発見

• $ p_r / \rho > -1/3 $ のとき、接線方向圧力や質量関数の振る舞いとは無関係に、非中心的特異点は常にイベントホライズンによって覆い隠される。
• $ p_r / \rho \leq -1/3 $ のとき、$ R \to 0 $ の極限で $ 2m/R < 1 $ を満たすため、非中心的特異点は裸の特異点である。
• 裸の特異点形成の臨界閾値は $ p_r / \rho = -1/3 $ であり、質量関数の漸近展開における $ R $ のべき乗が 1 に等しくなるという要請から導かれる。
• 特異点が $ 2m/R \to 1 $ に近づく場合、特異点はわずかに裸であるが、$ 2m/R < 1 $ となると完全に裸の特異点となる。これは $ k \leq -1/3 $ のときに正確に成立する。
• 分析から、この文脈における裸の特異点は、$ p_r < 0 $ のとき特異点で $ m \to 0 $ となるため、必然的に質量がゼロであることが示される。
• $ 2m/R < 1 $ という基準は、面積半径 $ R $ に依存するため、スライシングに依存せず、捕獲面の欠如を的確に示す強固な指標である。