[論文レビュー] Negative temperature states as exact equilibrium solutions of the Wave Kinetic equation for one dimensional lattices

Miguel Onorato, Giovanni Dematteis+4 more|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2020

Nonlinear Photonic Systems参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、1次元非線形格子における負の温度状態が、離散非線形シュレーディンガー（DNLS）方程式の波動運動論（WK）方程式の正確な平衡解として生じることを提案している。単調なエントロピー関数を導出し、作用の揺らぎを分析することで、分散関係が上界から有界である場合に負の温度が出現することを示し、数値シミュレーションにより予測された平衡スペクトルおよび揺らぎの指数分布への迅速な緩和が確認された。

ABSTRACT

We predict negative temperature states in the Discrete Nonlinear Schödinger equation as exact solutions of the associated Wave Kinetic equation. Those solutions are consistent with the classical thermodynamics formalism. Explicit calculation of the entropy as a function of the energy and number of particles is performed analytically. Direct numerical simulations of the DNLS equation are in agreement with theoretical results. We show that the key ingredient for observing negative temperatures in lattices is the boundedness of the dispersion relation in its domain. States with negative temperatures are characterized by an accumulation of particles and energy at wavenumber $k=π$.

研究の動機と目的

• 波動運動論理論を用いて、1次元格子における負の温度状態を正確な平衡解として確立すること。
• 古典的平衡統計力学と整合する定常状態に至る単調なエントロピー関数を定義すること。
• 平均波作用スペクトルの周囲における作用揺らぎの時間発展を分析し、その緩和 timescale を特定すること。
• DNLS方程式の数値的シミュレーションを通じて理論的予測を検証すること。
• 2つの保存量を持つ系において、特に分散関係が有界である場合に負の温度が出現する条件を明確にすること。

提案手法

• 弱非線形性およびランダム位相近似を用いて、DNLS方程式から波動運動論（WK）方程式を導出する。
• 波作用スペクトル $ n_k $ を定義し、H定理を満たすエントロピー関数 $ S $ を構築することで、時間とともに単調に増加し平衡状態に至ることを保証する。
• 作用確率分布の2階モーメント $ \Lambda_k(t) $ の動的方程式を定式化し、揺らぎの緩和を研究する。
• エネルギーおよびノルム保存から決定されるパラメータを有する、WK方程式の平衡解としてレイリー＝ジーンズ分布を用いる。
• 周期的境界条件を用いたDNLS方程式の数値的シミュレーションを実施し、スペクトルおよび揺らぎの時間発展を理論的予測と比較する。
• 分散関係が上界から有界であることで、負の $ T $ においても正の粒子分布が可能になることから、負の温度が可能になる条件を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 DNLS系の波動運動論方程式の正確な平衡解として負の温度状態を導出できるか？
• RQ2 エントロピー関数は時間経過とともにどのように振る舞い、定常状態に単調に近づくか？
• RQ3 波作用 $ I_k $ の揺らぎが平衡分布に緩和する timescale は、スペクトルがレイリー＝ジーンズ分布に達する timescale と比較してどの程度か？
• RQ4 2つの保存量を持つ格子系において、波動運動論的手法がどのような条件下で負の温度を予測するか？
• RQ5 理論的予測である作用分布および揺らぎダイナミクスは、DNLS方程式の数値的シミュレーションによって確認できるか？

主な発見

• 分散関係が上界から有界である場合、DNLSモデルのように、負の温度状態が波動運動論方程式の正確な平衡解として出現する。
• 波動運動論的手法から導かれたエントロピー関数は時間とともに単調に増加し、古典的平衡統計力学と整合する定常状態に至る。
• 波作用 $ I_k $ の揺らぎは、スペクトルがレイリー＝ジーンズ分布に達するよりも速い timescale で、その平衡指数分布に緩和する。
• 作用分布の2階モーメント $ \Lambda_k(t) $ は、$ \Lambda_k(t) = 2n_k^2(t) $ に従って急速に変化し、理論的予測と一致する。
• DNLS方程式の数値的シミュレーションは、平衡スペクトルおよび揺らぎの緩和に関して、理論的予測と良好に一致した。
• 波動運動論的手法は、共鳴する4波干渉を有する任意の分散波系に適用可能であり、特に分散関係が上界から有界である場合に適用可能である。これには、マルチモード光ファイバーや2次元乱流のような断片化系も含まれる。