[論文レビュー] Negativity and Concurrence of mixed 2X2 states

Koenraad M. R. Audenaert, Frank Verstraete+2 more|ArXiv.org|Dec 15, 2000

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、すべての混合 2×2 二粒子量子状態に対して、concurrence が negativity よりも小さくならないことを証明し、Eisert と Plenio の予想を裏付けた。concurrence と negativity が等しくなる状態を同定し、参加比 R または固定された concurrence の下で、concurrence と negativity の差が最大になる状態を特定した。解析的手法と数値的手法（下り坂単体法と最大にエンタングルされた状態族を含む）を用いた。

ABSTRACT

We consider two measures of entanglement of mixed bipartite states of dimension 2X2: concurrence and negativity. We first prove the conjecture of Eisert and Plenio that concurrence can never be smaller than negativity. We then characterise all states for which concurrence equals negativity and also those states for which the difference between concurrence and negativity is maximal (keeping either the concurrence fixed, or the participation ratio R=1/trace(rho^2)).

研究の動機と目的

• 混合 2×2 状態に対して、concurrence が常に negativity 以上であるという予想を証明すること。
• concurrence と negativity が等しくなるすべての混合 2×2 状態を同定すること。
• 参加比 R または固定された concurrence の制約の下で、concurrence と negativity の差を最大にする状態を特定すること。
• 最大にエンタングルされた状態からの解析的結果と、全状態空間における数値最適化を比較すること。

提案手法

• Q = √ρᵀ(σ_y ⊗ σ_y)√ρ の特異値分解を用いて、concurrence を導出する。ここで σ_y はパウリ行列 Y である。
• negativity を E_N(ρ) = max(0, -2λ₁(ρᵀ_B)) と定義する。ここで λ₁ は部分転置の最小固有値である。
• スミット分解と特異値分解を用いて、純粋状態の部分転置を表現し、固有値構造を導出する。
• MatLab を用いて下り坂単体法を適用し、参加比 R または concurrence C を固定した状態空間全体で C - E_N を数値的に最大化する。
• ランク 2, 3, 4 の最大にエンタングルされた状態を解析的に分析し、R や C の関数として C - E_N の解析的表現を導出する。
• 最大にエンタングルされた状態からの解析的境界と、数値的最適化結果を比較し、最適性を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての混合 2×2 状態に対して、concurrence は常に negativity 以上であるか？
• RQ2 concurrence と negativity が等しくなる 2×2 混合状態の集合は何か？
• RQ3 参加比 R = 1/Tr(ρ²) が与えられたとき、C - E_N の最大値は何か？
• RQ4 concurrence C が与えられたとき、C - E_N の最大値は何か？
• RQ5 最大にエンタングルされた状態は C - E_N を最大化するのに最適か？それとも他の状態がより大きな差を生じるか？

主な発見

• 本稿は、すべての 2×2 混合状態に対して concurrence が常に negativity 以上であることを証明し、Eisert と Plenio の予想を裏付けた。
• concurrence と negativity が等しくなるのは、状態が純粋状態であるか、特定の固有値構造を持つ混合状態に限る。
• 参加比 R ∈ [1,2) の場合、rank-2 の最大にエンタングルされた状態が達成可能な差を上回る C - E_N の最大値が得られ、最適状態は still rank-2 だが最大にエンタングルされていない。
• R ∈ [2,3] の場合、最大にエンタングルされた状態クラス内で C - E_N を最大にする状態は、全状態空間全体でも最適であることが判明し、予想に反する。
• 固定された concurrence C の場合、C - E_N の最大値は、固有値 λ₁ = max(C,1−C), λ₂ = min(C,1−C) を持つ rank-2 の最大にエンタングルされた状態で達成され、C - E_N = 1 − √(C² + (1−C)²) となる。
• 数値的最適化により、R ∈ [1,2) の場合、最大にエンタングルされた状態からの解析的境界を上回る C - E_N が得られ、非最大にエンタングルされた状態がより大きな差を生じることが示された。