[論文レビュー] Neighborhood Contingency Logic: A New Perspective

Jie Fan|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2018

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 6被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、標準的ネガトウモデルに最小限の構造的制約（準フィルター条件）を課すことにより、便宜論理の簡素化された近傍意味論を導入する。この意味論は、Kripke意味論と同一の妥当論理式を保ちつつ、表現力と定義可能性を向上させる。主な貢献は、c-双対同値が従来曖昧だったnbh-Δ-双対同値と等価であることを示したことにより、その本質を明確にし、すべての10種類の標準的近傍性質について新たなヘンネシー＝ミラー定理およびフレーム定義可能性結果を可能にする。

ABSTRACT

In this paper, we propose a new neighborhood semantics for contingency logic, by introducing a simple property in standard neighborhood models. This simplifies the neighborhood semantics given in (Fan and van Ditmarsch, 2015), but does not change the set of valid formulas. Under this perspective, among various notions of bisimulation and respective Hennessy-Milner Theorems, we show that $c$-bisimulation is equivalent to nbh-$Δ$-bisimulation in the literature, which guides us to understand the essence of the latter notion. This perspective also provides various frame definability and axiomatization results.

研究の動機と目的

• Kripke意味論および先行の近傍意味論における便宜論理（CL）における、弱い文法的構造と強いモデルとの間の非対称性を是正すること。
• Fanとvan Ditmarsch（2017）が提唱したCLの近傍意味論を、妥当論理式の集合に変更を加えずに簡素化すること。
• 既存のnbh-Δ-双対同値の意味的およびモデル理論的意味を明確化するため、それがより直感的で構造的根拠を持つc-双対同値と等価であることを示すこと。
• 新しい意味論において、すべての10種類の標準的近傍フレーム性質（例：系列性、反射性、推移性、対称性、ユークリッド性など）が定義可能であることを確立すること。
• 準フィルターフレーム上でのCLの単純で妥当的かつ強く完全な公理体系を提供すること。

提案手法

• 近傍モデルの新クラス（準フィルターフレーム）を、近傍関数N(s)が共通部分集合 ∩N(s) を含み、かつ共通部分集合について閉じているという準フィルター条件を課すことによって導入する。
• 既存の文献におけるnbh-Δ-双対同値と等価であることが示される新しい双対同値概念、c-双対同値を定義する。
• 新しい意味論のもとで、すべての10種類の標準的近傍フレーム性質（系列性、反射性、推移性、対称性、ユークリッド性など）がCLで定義可能であることを証明する。
• 最大一貫集合の集合を用いて、正規化近傍モデルを構築し、N^c(s) = { |φ| | Δφ ∈ s } という正規化近傍関数を定義することで、妥当性と強く完全性を保証する。
• 正規化モデルの構築により、axiom system 𝕂^Δ が準フィルターフレームのクラスに対して強く完全であることを確立する。
• 新しい意味論のもとで、準フィルターモデル上での論理的帰結関係がKripke意味論と一致することを示す。これにより、同じ論理（妥当論理式）が保たれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kripke意味論と同一の妥当論理式を保ちつつ、表現力と双対同値の明確さを向上させる、より単純な便宜論理の近傍意味論を定義できるか？
• RQ2 かつて曖昧だったnbh-Δ-双対同値は、より直感的で構造的根拠を持つ双対同値概念と等価であるか？
• RQ3 10種類の標準的近傍フレーム性質が、見直された意味論のもとで便宜論理で定義可能か？
• RQ4 新しいクラスの準フィルターフレーム上での便宜論理の妥当的かつ強く完全な公理体系は何か？
• RQ5 新しい意味論は、Kripke意味論と同一の論理的帰結関係を保っているか？

主な発見

• 準フィルターフレームに基づく新しい近傍意味論は、モデル構造を簡素化するが、便宜論理における妥当論理式の集合に変更を加えない。
• c-双対同値がnbh-Δ-双対同値と等価であることが証明され、後者の意味的解釈が明確化された。
• すべての10種類の標準的近傍フレーム性質（系列性、反射性、推移性、対称性、ユークリッド性、およびそれらの組み合わせを含む）が、新しい意味論のもとで、便宜論理で定義可能となった。
• axiom system 𝕂^Δ は、準フィルターフレームのクラスに対して妥当的かつ強く完全である。
• 新しい意味論（準フィルターモデル上）における論理的帰結関係は、Kripke意味論と同一であり、論理が変化していないことが確認された。
• 新しい意味論により、さまざまな双対同値概念についての完全なフレーム定義可能性とヘンネシー＝ミラー定理が可能となり、従来の表現力と明確さの制限が解消された。