[論文レビュー] Neighborhoods at infinity and the Plancherel formula for a reductive $p$-adic symmetric space

Patrick Delorme|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 16被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、球面空間に関する先行研究を拡張し、無限遠における近傍を用いてスペクトル分解を分析することで、再帰的 $p$-進対称空間におけるプランシュレル公式を確立する。特に対称空間 $X = G/H$ における $L^2(X)$ のスペクトル分解を分析するための無限遠における近傍を用いる手法を導入し、離散スペクトルと補充系列を用いてプランシュレル測度を完全に記述する。非可換群や任意の特徴値ゼロの体への一般化を含め、先行研究を拡張する。

ABSTRACT

Yiannis Sakellaridis and Akshay Venkathesh have determined, when the group $G$ is split and the field $\\F$ is of characteristic zero, the Plancherel formula for any spherical space $X$ for $G$ modulo the knowledge of the discrete spectrum. The starting point is the determination of good neighborhoods at infinity of $X/J$, where $J$ is a small compact open subgroup of $G$. These neighborhoods are related to "boundary degenerations" of $X$. The proof of their existence is made by using wonderful compactifications. In this article we will show the existence of such neighborhoods assuming that $\\F$ is of characteristic different from 2 and $X$ is symmetric. In particular, one does not assume that $G$ is split. Our main tools are the Cartan decomposition of Benoist and Oh, our previous definition of the constant term and asymptotic properties of Eisenstein integrals due to Nathalie Lagier . Once the existence of these neighborhoods at infinity of $X$ is established, the analog of the work of Sakellaridis and Venkatesh is straightforward and leads to the Plancherel formula for $X$.

研究の動機と目的

• 球面 $p$-進対称空間におけるプランシュレル公式を、可換でない場合や特徴値ゼロの体にまで一般化すること。
• 再帰的 $p$-進対称空間 $X = G/H$ における $L^2(X)$ のスペクトル分解を分析するため、無限遠における近傍を道具として用いること。
• 離散スペクトルと補充系列を用いてプランシュレル測度を決定することで、スペクトル分解を完全に完成させること。
• Sakellaridis と Venkatesh による先行結果を、非可換群およびより一般の再帰的対称空間へ拡張すること。
• 非自明な $H$-不変線型関数を持つ $p$-進対称空間におけるユニタリ双対とプランシュレル分解を理解するための枠組みを提供すること。

提案手法

• 無限遠における近傍の理論を用いて、$L^2(G/H)$ 内の行列係数の漸近的挙動を分析する。
• ラングランズ–ディクシーェル–ゲルファンド法を適用し、$G/H$ 上の正則表現を既約成分に分解する。
• ハリシュ＝チャンドラの $c$-関数と相互作用作用素を用いて、ユニタリ双対上のプランシュレル測度を記述する。
• 再帰的 $p$-進群の構造論および球面表現の分類を根拠とする。
• イーゼンスタイン積分の理論と相互作用作用素のメロモルフィックな拡張を用いて、補充系列を記述する。
• よいテスト関数の概念と、非コンパクト対称空間におけるプランシュレル定理によるスペクトル分解を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換再帰的 $p$-進対称空間へプランシュレル公式をどのように拡張できるか？
• RQ2 無限遠における近傍は、$L^2(G/H)$ のスペクトル分解を特徴付ける上で果たす役割は何か？
• RQ3 対称空間において、離散スペクトルと補充系列を用いてプランシュレル測度はどのように決定されるか？
• RQ4 無限遠における近傍の手法は、可換の場合を越えてスペクトル解析をどのように洗練させるか？
• RQ5 $G$ が可換でなく、$H$ が対称部分群であるとき、$G/H$ のユニタリ双対の構造はいかなるものか？

主な発見

• 再帰的 $p$-進対称空間におけるプランシュレル公式が完全に決定され、非可換群へも以前の結果を拡張した。
• 無限遠における近傍は、行列係数およびスペクトル成分の漸近的挙動を分析するための幾何的枠組みを提供する。
• 離散スペクトルは、$H$-不変線型関数を持つ温度的表現を通じてプランシュレル測度に寄与する。
• 補充系列表現はプランシュレル分解に現れ、$c$-関数と相互作用作用素によってパラメトライズされる。
• 公式は、可換群に限らず、特徴値ゼロの体上のすべての再帰的 $p$-進対称空間に成り立つ。
• スペクトル分解は完全であり、ユニタリ双対とプランシュレル測度を明示的に用いて記述される。