[論文レビュー] Neighborhoods of Analytic Varieties in Complex Manifolds

César Camacho, Hossein Movasati|ArXiv.org|Aug 7, 2002

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、複素多様体内の葉付き近傍へ、グラウエルトの形式的原理を拡張し、リーマン面が複素曲面に埋め込まれた近傍における2つの横断的葉付き構造が形式的に同型であるための条件を確立する。コhomological障害とセール双対性を用いて、自己交わり数 $A.A$ が genus および接続性に対して十分に負であれば、形式的同型が保証されることを示す。

ABSTRACT

The systematic study of neighborhoods of analytic varieties was started by H. Grauert in his celebrated article 1962. In that article he considers a manifold X and a negatively embedded submanifold A subset X. He introduces n-neighborhood, n in N, of A and studies when an isomorphism of two n-neighborhoods can be extended to an isomorphism of (n+1)-neighborhoods. He observes that obstructions to this extension problem lie in the first cohomology group of certain sheaves involving the normal bundle of A in X. Using a version of Kodaira vanishing theorem he shows that for a large n these cohomology groups vanish and so he concludes that the germ of a negatively embedded manifold A depends only on a finite neighborhood of it. These methods are generalized to a germ of an arbitrary negatively embedded divisor A by Hironaka, Rossi and Laufer. In the case where A is a Riemann surface embedded in a two dimensional manifold, by using Serre duality we can say exactly which finite neighborhood of A determines the embedding. This isa first draft of an expository article about negatively embedded varieties. The text is mainly based on Grauert's paper, but we have used also the contributions of subsequent authors; for instance the Artin's criterion on the existence of convergent solutions is used instead of Grauert's geometrical methods. Our principal aim is to extend this study to the germ of foliated neighborhoods and singularities. In the first steps we will consider the most simple foliations which are transversal foliations. Next, foliations with tangencies and Poincare type singularities will be considered.

研究の動機と目的

• 解析的多様体から複素多様体内の葉付き近傍へ、グラウエルトの形式的原理を一般化すること。
• 複素多様体 $X$ に埋め込まれた部分多様体 $A$ のまわりの正則葉付き構造のgermを分類すること、特に横断的および接続的葉付き構造に注目すること。
• 2つの葉付き構造が形式的に同型であるための条件を特定すること、特に複素曲面内のリーマン面の場合に注目すること。
• コhomological障害およびセール双対性を用いて、形式的同型の収束性と存在性を確立すること。
• アーティンの収束解に関する基準を、グラウエルトの幾何的技法に代えてコhomological手法を用いた葉付き構造へ拡張すること。

提案手法

• 形式的近傍構成 $A_{(\nu)} = \tilde{\rho}^*({\rm O}_X / \frak{M}^\nu)$ と逆極限 $A_{(\nu)} \to A_{(\nu-1)}$ を用いて、形式的完備化 $A_{(\nu)}$ を定義する。
• グラウエルトの段階的拡張法を適用し、同型の拡張における障害が、正規バンドルおよび葉付き構造の接ベクトル層を含む層の $H^1$ に位置することを示す。
• 葉付き構造を保存する $\nu$-近傍の自己同型をパrametrizeするための層 $\mathcal{T}_{\mathcal{F}}(\nu) = \mathcal{T}_{\mathcal{F}} \otimes \mathcal{Q}_\nu$ を導入する。
• セール双対性を用いて $H^1(A, \mathcal{T}_{\mathcal{F}}(\nu))$ を計算し、$c(\Omega \otimes T_{\mathcal{F}}^* \otimes N^\nu) < 0$ のときには消滅することを示す。
• ベクトル場の $\nu$ 次のものと $\nu$-近傍の自己同型の間の同型 $\operatorname{Aut}(\nu, \mathcal{F}) \cong \mathcal{T}_{\mathcal{F}}(\nu)$ を用いて関係を確立する。
• アーティンの基準を適用して、形式的同型を収束的ものへと上げる。グラウエルトの幾何的収束議論に代えて、コhomological手法を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素多様体 $X$ 内の部分多様体 $A$ の葉付き近傍の間の形式的同型が収束的であるための条件は何か？
• RQ2 複素曲面 $X$ 内のリーマン面 $A$ の近傍における2つの横断的葉付き構造が形式的に同型であるのはいつか？
• RQ3 正規バンドルおよび葉付き構造を含む層の $H^1$ におけるコhomological障害は、同型の拡張にどのように影響するか？
• RQ4 セール双対性は、形式的同型の障害の消滅をどのように決定するか？
• RQ5 解析的多様体のための形式的原理は、葉付き構造へ一般化可能か？そのために必要な位相的および幾何的条件は何か？

主な発見

• 葉付き構造 $\mathcal{F}$ を保存する $\nu$-近傍の自己同型群は、$\mathcal{T}_{\mathcal{F}}(\nu)$、すなわち $\mathcal{F}$ に接する $\nu$ 次のベクトル場の層と同型である。
• 複素曲面 $X$ に埋め込まれた genus $g$ のリーマン面 $A$ に対して、2つの非特異的で横断的な葉付き構造 $\mathcal{F}$ と $\mathcal{F}'$ の間で形式的同型が存在するための条件は、$A.A < \min\{0, 2 - 2g - \operatorname{tang}(\mathcal{F}, A)\}$ である。
• $\nu$-近傍間の同型の拡張における障害は $H^1(A, \mathcal{T}_{\mathcal{F}}(\nu))$ に位置し、第一チャーン類の条件 $c(\Omega \otimes T_{\mathcal{F}}^* \otimes N^\nu) < 0$ が成り立つと消滅する。
• 条件 $A.A < 2 - 2g - \operatorname{tang}(\mathcal{F}, A)$ は、セール双対性により、コホモロジー群 $H^1(A, \mathcal{T}_{\mathcal{F}}(\nu))$ の消滅を保証する。
• 形式的近傍 $A_{(\infty)} = \varprojlim A_{(\nu)}$ は埋め込みのgermを捉え、その構造が葉付き近傍の形式的同型類を決定する。
• アーティンの基準の使用により、形式的同型を収束的ものへと上げることができ、提示された位相的条件下では形式的同型が実際に局所的正則同相写像を意味することを保証する。