[論文レビュー] Neighbourhood family percolation

Béla Bollobás, Paul Smith+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2012

Stochastic processes and statistical mechanics被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、任意の局所的更新ルールと確率的初期状態をもつ $\mathbb{Z}^d$ 上の2状態、決定的、単調な細胞オートマトンとしての $\mathcal{G}$-bootstrap percolation を導入し、分析する。2次元において、モデルを上臨界的、臨界的、下臨界的の3類に分類し、$(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^2$ における全感染の臨界確率が、臨界的モデルでは \/log n)^{-\Theta(1)}$、上臨界的モデルでは $n^{-\Theta(1)}$ であることを証明する。これは、対称性の仮定を一切行わない初の一般理論を確立する。

ABSTRACT

In this paper we study in complete generality the family of two-state, deterministic, monotone, local, homogeneous cellular automata in $\mathbb{Z}^d$ with random initial configurations. Formally, we are given a set $\mathcal{U}=\{X_1,\dots,X_m\}$ of finite subsets of $\mathbb{Z}^d\setminus\{\mathbf{0}\}$, and an initial set $A_0\subset\mathbb{Z}^d$ of `infected' sites, which we take to be random according to the product measure with density $p$. At time $t\in\mathbb{N}$, the set of infected sites $A_t$ is the union of $A_{t-1}$ and the set of all $x\in\mathbb{Z}^d$ such that $x+X\in A_{t-1}$ for some $X\in\mathcal{U}$. Our model may alternatively be thought of as bootstrap percolation on $\mathbb{Z}^d$ with arbitrary update rules, and for this reason we call it $\mathcal{U}$-bootstrap percolation. In two dimensions, we give a classification of $\mathcal{U}$-bootstrap percolation models into three classes -- supercritical, critical and subcritical -- and we prove results about the phase transitions of all models belonging to the first two of these classes. More precisely, we show that the critical probability for percolation on $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^2$ is $(\log n)^{-\Theta(1)}$ for all models in the critical class, and that it is $n^{-\Theta(1)}$ for all models in the supercritical class. The results in this paper are the first of any kind on bootstrap percolation considered in this level of generality, and in particular they are the first that make no assumptions of symmetry. It is the hope of the authors that this work will initiate a new, unified theory of bootstrap percolation on $\mathbb{Z}^d$.

研究の動機と目的

• 任意の局所的更新ルールをもつ $\mathbb{Z}^d$ 上のbootstrap percolation を研究する一般的かつ対称性を仮定しない枠組みを構築すること。
• 2次元におけるすべての $\mathcal{G}$-bootstrap percolation モデルを、上臨界的、臨界的、下臨界的の3つの普遍的クラスに分類すること。
• 上臨界的および臨界クラスに属するすべてのモデルについて、有限系 $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^2$ における全感染の臨界確率を特定すること。
• 更新ルールに対称性や正則性の仮定を一切行わない、bootstrap percolation の包括的理論を確立すること。

提案手法

• モデルは、$\mathbb{Z}^d \setminus \{\mathbf{0}\}$ の有限部分集合の族 $\mathcal{G} = \{X_1, \dots, X_m\}$ によって定義され、近隣構成を表す。
• 初期感染は密度 $p$ の積測度により行われ、各サイトが確率 $p$ で独立に感染状態となる。
• ダイナミクスは決定論的に進む：各時刻ステップで、ある $X_i \in \mathcal{G}$ の平行移動が直前のステップで完全に感染している場合、そのサイトが感染する。
• プロセスは単調である：一度感染したサイトは常に感染状態を維持し、感染サイトの集合は時間とともに増加する。
• 分析は、トーラス $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^2$ における全感染の臨界確率 $p_c(n)$ に集中する。これは、全感染が起こりやすくなる閾値として定義される。
• 上臨界的、臨界的、下臨界的クラスへの分類は、2次元における更新族 $\mathcal{G}$ の幾何学的および組合せ的性質に基づく。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限2次元トーラス $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^2$ 上の $\mathcal{G}$-bootstrap percolation における全感染の臨界確率は何か？
• RQ2 更新族 $\mathcal{G}$ の異なるクラスにおいて、臨界確率は $n$ に対してどのようにスケーリングするか？
• RQ3 対称性の仮定を一切行わず、$\mathcal{G}$-bootstrap percolation モデルの一般分類を確立できるか？
• RQ4 上臨界的、臨界的、下臨界的モデルは、全感染閾値の観点からどのように区別されるか？
• RQ5 臨界および上臨界クラスに属するモデルの臨界確率の漸近的挙動は何か？

主な発見

• 2次元における $\mathcal{G}$-bootstrap percolation の臨界クラスに属するすべてのモデルについて、$(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^2$ における臨界確率は \/log n)^{-\Theta(1)}$ である。
• 2次元における $\mathcal{G}$-bootstrap percolation の上臨界クラスに属するすべてのモデルについて、$(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^2$ における臨界確率は $n^{-\Theta(1)}$ である。
• 上臨界的、臨界的、下臨界的クラスへの分類は、2次元における更新族 $\mathcal{G}$ の幾何学的および組合せ的構造にのみ依存する。
• 本結果は、対称性の仮定を一切行わない状況で、bootstrap percolation における相転移挙動を初めて確立した。
• この枠組みは、既存のモデルを統合・一般化し、$\mathbb{Z}^d$ 上のbootstrap percolation における新しい包括的理論の基盤を提供する。