[論文レビュー] Nel's category theory based differential and integral Calculus, or did Newton know category theory ?

Elemér E Rosinger|ArXiv.org|Apr 28, 2005

Optics and Image Analysis参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、古典的微分積分法を圏論に基づいて定式化し、標準的な微分と積分が、連続関数の空間と代数的平均値条件を満たす関数の空間の間の自然同型（特に対角評価写像）を通じて導出可能であることを示している。主な貢献は、一般化された微分や極限を用いず、純粋に代数的・圏論的な構成によって古典的微分積分法を回復することであり、空集合を内包する非凸領域上でも微分積分法を適用可能にする。

ABSTRACT

In a series of publications in the early 1990s, L D Nel set up a study of non-normable topological vector spaces based on methods in category theory. One of the important results showed that the classical operations of derivative and integral in Calculus can in fact be obtained by a rather simple construction in categories. Here we present this result in a concise form. It is important to note that the respective differentiation does not lead to any so called generalized derivatives, for instance, in the sense of distributions, hyperfunctions, etc., but it simply corresponds to the classical one in Calculus. Based on that categorial construction, Nel set up an infinite dimensional calculus which can be applied to functions defined on non-convex domains with empty interior, a situation of great importance in the solution of partial differential equations

研究の動機と目的

• 圏論を用いて古典的微分積分法を再定式化すること。
• 標準的な微分と積分が、一般化された微分を用いず、単純な圏論的構成から導出可能であることを示すこと。
• 偏微分方程式（PDE）に関連する非凸領域（内部が空集合）上での関数に対しても微分積分法を拡張すること。
• 古典的微分が差商に関する代数的条件から自然に生じることを確立すること。
• 対角評価写像が関数空間の間で自然同型を提供し、微分積分法の圏論的基盤を構築することを示すこと。

提案手法

• Banach空間における経路を、f:I→E が連続で、ある連続関数 hf に対して f(y)−f(x)=(y−x)hf(x,y) を満たすものとして定義する。
• すべての x,y,z∈I に対して (y−x)h(x,y)+(z−y)h(y,z)+(x−z)h(z,x)=0 を満たす連続関数 h の空間 ad C(I×I,E) を導入する。
• 対角評価写像 edI,E: ad C(I×I,E) → C(I,E) を (edI,E(h))(x) = h(x,x) で定義する。
• edI,E が関手 ad C(I×I,−) と C(I,−) の間で自然同型かつ等長写像であることを証明し、圏論的基盤を確立する。
• f∈Path C(I,E) に対して Df = edI,E(hf) を定義し、極限を用いず古典的微分を回復する。
• ∫ab f = (b−a)·avf(a,b) を定義し、f の [a,b] 上での平均 avf(a,b) を用い、Newton-Leibnizの公式を満たすことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 極限や一般化された関数を用いず、純粋に代数的・圏論的構成から古典的微分と積分を導出可能か？
• RQ2 対角評価写像 edI,E が ad C(I×I,−) と C(I,−) の間で自然同型を提供するか。これにより微分積分法の圏論的基盤が正当化されるか？
• RQ3 この圏論的枠組みにより、PDE理論で求められる非凸領域（内部が空集合）上での関数に対しても微分積分法を拡張可能か？
• RQ4 差商の連続性や微分可能性を仮定せずとも、古典的微分 f′(x) が h(x,x)（h∈ad C(I×I,E)）として回復可能か？
• RQ5 平均を用いて定義された積分が、圏論的に定義された微分を用いる場合に、Newton-Leibnizの公式を満たすか？

主な発見

• 対角評価写像 edI,E は関手 ad C(I×I,−) と C(I,−) の間で自然同型かつ等長写像であり、微分積分法の圏論的基盤を提供する。
• f∈Path C(I,E) に対して Df = edI,E(hf) を定義すると、古典的微分 f′(x) = hf(x,x) が極限や差商の連続性を仮定せず回復される。
• 微分が圏論的に定義された場合、古典的Newton-Leibnizの公式 ∫ab f′ = f(b)−f(a) が成立する。
• ∫ab f = (b−a)·avf(a,b) で定義される積分は微分積分学の基本定理を満たす：F(x) = ∫ax f ならば F′ = f である。
• 多角形関数の稠密性を用いて、すべての連続関数へと拡張可能であり、積分と微分の関係が保存される。
• この枠組みは無限次元Banach空間や内部が空集合の非凸領域上での関数に対しても適用可能であり、PDE分野における新たな応用を可能にする。