[論文レビュー] Neron models over moduli of stable curves

Lucia Caporaso|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2005

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems被引用数 1

ひとこと要約

本論文は、安定曲線のモジュライスタック上に、全空間が正則である1パラメータ族のヤコビアンのネロンモデルを実現する普遍スタックの存在を確立する。さらに、普遍ピカードスキームのスタック的コンパクト化を構成し、このような族のネロンモデルの幾何的に意味のある完成を与える。

ABSTRACT

We prove that there exist some stacks, representable over the stack of stable curves, having the following universal property with respect to Neron models of Jacobians. For every one-parameter family of stable curves, with regular total space, the Neron model of the Jacobian of its generic fibre is isomorphic to the base change of the above stacks via the moduli map of the given family. We also obtain a stack compactification of the universal Picard scheme and hence a geometrically meaningful completion of the Neron model of the Jacobian for every family as above.

研究の動機と目的

• 正則な全空間を持つ安定曲線族のヤコビアンのネロンモデルを実現する、安定曲線のモジュライスタック上に普遍スタックを構成すること。
• 普遍ピカードスキームの幾何的に意味のあるコンパクト化を提供すること。
• スタック論的技法を用いて、ネロンモデルの理論を安定曲線族へと拡張すること。
• 安定曲線族の各ファミリーに関して、ヤコビアンのネロンモデルと基底変換の間の普遍的性質を確立すること。

提案手法

• 代数的スタックおよび変形理論を用いて、安定曲線のモジュライスタック上にスタックを構成する。
• 正則な全空間を持つ安定曲線族にネロンモデルの理論を適用する。
• ファミリーのモジュライ写像に沿った基底変換を用いて、一般ファイバーのネロンモデルと構成されたスタックを関連付ける。
• 幾何的不変量理論およびモジュライ論的技法を用いて、普遍ピカードスキームのスタック的コンパクト化を構成する。
• ファミリーの全空間の正則性に依拠して、ネロンモデルの存在および一意性を保証する。
• 基底変換およびモジュライ写像との整合性を検証することで、普遍性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則な全空間を持つ安定曲線族の各ファミリーに対して、そのヤコビアンのネロンモデルを普遍的に実現する、安定曲線のモジュライスタック上に普遍スタックを構成できるか？
• RQ2 普遍ピカードスキームを幾何的に意味のある方法でコンパクト化するにはどうすればよいか？
• RQ3 ファミリーのヤコビアンのネロンモデルと、そのファミリーのモジュライ写像に沿った普遍スタックの基底変換との関係は何か？
• RQ4 スタック論的構成を用いて、ヤコビアンのネロンモデルを幾何的に完成できるか？
• RQ5 この構成は、安定曲線族に関してどのような普遍的性質を満たすか？

主な発見

• 正則な全空間を持つ1パラメータ族の安定曲線のヤコビアンのネロンモデルを普遍的に実現するスタックが、安定曲線のモジュライスタック上に存在する。
• 一般ファイバーのヤコビアンのネロンモデルは、そのファミリーのモジュライ写像に沿ったこの普遍スタックの基底変換と同型である。
• 普遍ピカードスキームのスタック的コンパクト化が構成され、このような族のネロンモデルの幾何的完成を提供する。
• この構成は、ファミリーのモジュライ論的構造を尊重する形でネロンモデルを完成させる。
• 普遍性は、正則な全空間を持つすべてのファミリーに普遍的に成り立ち、モジュライ写像とネロンモデルとの間に標準的な関係を確立する。
• 本研究の結果は、スタック論的およびモジュライ論的技法を用いて、ネロンモデルの理論を安定曲線の文脈へと拡張する。