[論文レビュー] Nested sampling on non-trivial geometries

Kamran Javid|arXiv (Cornell University)|May 22, 2019

Pulsars and Gravitational Waves Research参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、円、トーラス、球面などの多様体上でのサンプリング効率を向上させる幾何的ネストドサンプリングアルゴリズムを提案する。提案分布を周期的領域にラップするか、カーテシアン座標に変換することで、定義域外の点が自動的に破棄されるのを防ぎ、特に境界付近や不連続性付近での移動性を向上させる。特に少ないライブポイント数の条件下でも、高次元のトーラス的・球面的幾何構造におけるマルチモーダル事後分布の回復において、MultiNestを上回る性能を示す。

ABSTRACT

Metropolis nested sampling evolves a Markov chain from a current livepoint and accepts new points along the chain according to a version of the Metropolis acceptance ratio modified to satisfy the likelihood constraint, characteristic of nested sampling algorithms. The geometric nested sampling algorithm we present here is a based on the Metropolis method, but treats parameters as though they represent points on certain geometric objects, namely circles, tori and spheres. For parameters which represent points on a circle or torus, the trial distribution is `wrapped' around the domain of the posterior distribution such that samples cannot be rejected automatically when evaluating the Metropolis ratio due to being outside the sampling domain. Furthermore, this enhances the mobility of the sampler. For parameters which represent coordinates on the surface of a sphere, the algorithm transforms the parameters into a Cartesian coordinate system before sampling which again makes sure no samples are automatically rejected, and provides a physically intutive way of the sampling the parameter space. We apply the geometric nested sampler to two types of toy model which include circular, toroidal and spherical parameters. We find that the geometric nested sampler generally outperforms extsc{MultiNest} in both cases. \\ %We also apply the algorithm to a gravitational wave detection model which includes circular and spherical parameters, and find that the geometric nested sampler and extsc{MultiNest} appear to perform equally well as one another. Our implementation of the algorithm can be found at \url{https://github.com/SuperKam91/nested_sampling}.

研究の動機と目的

• 円、トーラス、球面などの非自明な多様体上に定義された分布における、標準的ネストドサンプリングの非効率性を是正すること。
• 制約付きパrameter空間におけるドメイン境界効果に起因する提案の自動破棄を軽減し、サンプラーの移動性を向上させること。
• 円形、トーラス的、球面的パラメータの内在的トポロジーを尊重する、メトロポリス型ネストドサンプリングの幾何的にインformedな変種を開発すること。
• 特に高次元のマルチモーダル事後分布において、円形・トーラス的・球面的対称性を示すトゥイモデルを用いて性能を評価すること。
• 幾何的ネストドサンプリングが、多様体上での複雑で対称的なモード（例：球面上の「花びら」）を回復する際、標準的手法を上回ることを示すこと。

提案手法

• 円形およびトーラス的パラメータに対して、提案分布を周期的領域にラップすることで、すべての提案点が有効なサンプリング領域内に留まるようにする。
• このラッピングにより、ドメイン境界に起因する提案の自動破棄が防止され、特にエッジ部や不連続性付近での移動性が向上する。
• 球面的パラメータに対しては、角度座標（例：偏角および方位角）をユークリッド空間内のカーテシアン座標に変換してサンプリングを行う。
• カーテシアン座標への変換により、球面表面の定義域外の提案が生じるのを防ぎ、破棄を回避する。
• アルゴリズムは、尤度制約を尊重するように修正されたメトロポリス型受容率を用いながら、パrameter空間における幾何的整合性を維持する。
• 本手法はPython 2.7で実装され、円上のボン・ミーゼス分布、6次元トーラス、球面上の複数のケント分布花びらモデルなどのトゥイモデルに適用されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 円形・トーラス的・球面的パラメータの幾何的構造を尊重するネストドサンプリングアルゴリズムは、サンプリング効率および移動性を向上させることができるか？
• RQ2 高次元のトーラス的・球面的多様体上でのマルチモーダル事後分布回復において、幾何的ネストドサンプリングはMultiNestに比べてどのように性能を発揮するか？
• RQ3 ラップド提案またはカーテシアン座標変換を用いることで、制約付きパrameter空間における破棄サンプル数が減少し、収束性が向上するか？
• RQ4 複雑で対称的な分布において、低ライブポイント数の条件下で幾何的ネストドサンプリングはMultiNestをどの程度上回るか？
• RQ5 標準的ネストドサンプリング手法と比較して、幾何的ネストドサンプリングは、マルチモーダル特徴（例：球面上の「花びら」）の対称性や形状をより良く保持できるか？

主な発見

• 円形トゥイモデル（ボン・ミーゼス分布）では、次元数が低いため幾何的ネストドサンプリング（MG）とMultiNest（MN）の性能はほぼ同等である。
• 60個の四分音ピークを持つ6次元トーラスモデルでは、50個のライブポイントを用いたMGはすべてのピークを良好に回復するが、MNは3つを完全に見逃し、14個を不完全に回復する。
• 500個のライブポイントを用いた場合、MNは改善するが依然としてMGに劣り、MGは低ライブポイント数でも一貫した性能を維持する。これはMGの低ライブポイント数下でのロバスト性を示している。
• 6つの球面にそれぞれ8つの対称的花びらを持つ12次元問題では、両アルゴリズムとも真の分布を完全に回復できないが、MGはモードの対称性と形状をより良く保持する。
• 幾何的ネストドサンプリングの性能優位性は、問題を幾何的空間上で単一モードとして扱うことで生じ、高次元かつ対称的な多様体上でのMultiNestのクラスタリングの落とし穴を回避する。
• 実装は https://github.com/SuperKam91/nested_sampling で公開されているが、MultiNest や POLYCHORD などのFORTRANベースのツールに比べてパフォーマンス最適化はなされていない。