[論文レビュー] Nested subclasses of the class of $α$-selfdecomposable distributions

Makoto Maejima, Yohei Ueda|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、極限定理と無限に可分分布の写像の2つのアプローチを用いて、ℝᵈ 上の α-自己分解的分布のネストされた部分クラスを導入し、分析する。主な貢献は、すべての α ∈ ℝ に対して、これらのネストされた部分クラスの極限クラスを、α-自己分解的分布の集合と厳密安定分布の集合の閉包の共通部分として統一的に特徴づけることである。特に α ∈ (0,2) の場合に、明示的な条件が得られる。

ABSTRACT

A probability distribution $μ$ on $\mathbb R ^d$ is selfdecomposable if its characteristic function $\widehatμ(z), z\in\mathbb R ^d$, satisfies that for any $b>1$, there exists an infinitely divisible distribution $ρ_b$ satisfying $\widehatμ(z) = \widehatμ(b^{-1}z)\widehatρ_b(z)$. This concept has been generalized to the concept of $α$-selfdecomposability by many authors in the following way. Let $α\in\mathbb R$. An infinitely divisible distribution $μ$ on $\mathbb R ^d$ is $α$-selfdecomposable, if for any $b>1$, there exists an infinitely divisible distribution $ρ_b$ satisfying $\widehatμ(z) = \widehat μ(b^{-1}z)^{b^α}\widehatρ_b(z)$. By denoting the class of all $α$-selfdecomposable distributions on $\mathbb R ^d$ by $L^{\leftangleα ightangle}(\mathbb R ^d)$, we define in this paper a sequence of nested subclasses of $L^{\leftangleα ightangle}(\mathbb R ^d)$, and investigate several properties of them by two ways. One is by using limit theorems and the other is by using mappings of infinitely divisible distributions.

研究の動機と目的

• ℝᵈ 上の α-自己分解的分布のクラス内にネストされた部分クラスの階層を定義し、研究すること。
• 極限定理と無限に可分分布の写像という2つの補完的アプローチを用いて、これらの部分クラスの構造と性質を調査すること。
• すべての実数 α に対して、これらのネストされた部分クラスの極限クラスの特徴づけを統一すること。特に α ≤ 0、0 < α < 1、α = 1、1 < α < 2 の場合の挙動の違いを明確にすること。
• 写像 Φₐ の反復適用と極限クラスとの関係を確立し、特定の分布クラスの共通部分へ収束することを示すこと。

提案手法

• 各 b > 1 に対して、特性関数が μ̂(z) = μ̂(b⁻¹z)^{b^α} ρ_b(z) を満たし、ρ_b ∈ Lₘ₋₁^(⟨α⟩)(ℝᵈ) であるような条件を満たすことで、Lₘ^(⟨α⟩)(ℝᵈ) を再帰的に定義する。初期条件として L₀^(⟨α⟩)(ℝᵈ) = L^(⟨α⟩)(ℝᵈ) を用いる。
• 無限小の三角配列を用いた極限定理を用いる：独立な確率変数列 {Xₙ}、スケーリング {aₙ} ↓ 0、中心化 {cₙ} が存在し、aₙ⁻¹∑ⱼ₌₁ⁿ Xⱼ + cₙ が分布収束して μ に収束する。
• 確率測度の空間に写像 Φₐ を定義し、反復によりネストされた部分クラスを生成する：Φₐ^m+1(𝕀(ℝᵈ)) が Lₘ^(⟨α⟩)(ℝᵈ) を生成する。
• 極限クラスを、L^(⟨α⟩)(ℝᵈ) と厳密安定分布の集合の閉包 cl(S(ℝᵈ)) の共通部分として、m → ∞ のとき特徴づける。
• すべての α ∈ ℝ に対して limₘ→∞ 𝔒(Φₐ^{m+1}) = L^(⟨α⟩)(ℝᵈ) ∩ cl(S(ℝᵈ)) が成り立つことを確立し、α の値に応じた精密化された特徴づけを行う。
• スペクトル測度とパrameter β を用いた積分条件を用いて、極限における中心化項を特徴づける。特に α = 1 および α ∈ (1,2) の場合に注目する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 α ∈ ℝ の異なる値に対して、m → ∞ のときのネストされた部分クラス Lₘ^(⟨α⟩)(ℝᵈ) の極限クラスは何か？
• RQ2 極限定理と無限に可分分布の写像は、α-自己分解的分布のネストされた部分クラスを特徴づける上でどのように関係しているか？
• RQ3 すべての α ∈ ℝ に対して、ネストされた部分クラスの極限クラスを一様に表現できるか？もしそうなら、その統一された形は何か？
• RQ4 厳密安定分布の集合の閉包は、これらのネストされた部分クラスの極限特徴づけにおいて果たす役割は何か？
• RQ5 Lévy 測度およびスペクトル測度の条件は、α ∈ (0,2) の異なる値に対して、極限クラスの収束性と構造にどのように影響するか？

主な発見

• すべての α ∈ ℝ に対して、m → ∞ のときのネストされた部分クラス Lₘ^(⟨α⟩)(ℝᵈ) の極限は、L^(⟨α⟩)(ℝᵈ) ∩ cl(S(ℝᵈ)) で与えられ、すべての実数 α に対して統一された特徴づけが得られる。
• α ≤ 0 の場合、極限クラスは L^(⟨α⟩)(ℝᵈ) ∩ cl(S(ℝᵈ)) = L^(⟨α⟩)(ℝᵈ) ∩ {δ₀} であり、唯一の可能な極限は原点における退化分布である。
• 0 < α < 1 の場合、極限クラスは L^(⟨α⟩)(ℝᵈ) ∩ cl(S(ℝᵈ)) ∩ ℂₐ(ℝᵈ) で与えられ、ここで ℂₐ(ℝᵈ) はスペクトル測度に特定のモーメント条件を満たす分布のクラスを表す。
• α = 1 の場合、極限クラスはスペクトル測度に関する追加の積分条件（Beta関数と中心化項 γ を含む）によって特徴づけられる。
• 1 < α < 2 の場合、極限クラスは L^(⟨α⟩)(ℝᵈ) ∩ cl(S(ℝᵈ)) ∩ I₁⁰(ℝᵈ) で与えられ、ここで I₁⁰(ℝᵈ) は第一絶対モーメントが有限である無限に可分分布のクラスを表す。
• 写像 Φₐ^{m+1} の極限は L^(⟨α⟩)(ℝᵈ) ∩ cl(S(ℝᵈ)) に収束する。これは、写像に基づく特徴づけと極限定理に基づく特徴づけが一貫していることを確認する。