[論文レビュー] Nesterenko's linear independence criterion for vectors

Stéphane Fischler|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、スカラー値からベクトルへネステルェンコの線形独立性基準を一般化し、$ k $ 個の異なる点で小さい整数係数線形形式の系列を用いて、$ \mathbb{R}^k $ 内の $ p $ 個のベクトルの有理数階数の下界を確立する。この方法は、凸体のミンコフスキーの定理に依拠し、バール＝リヴォアルの奇数整数におけるゼータ値の無理数性結果を、$ \mathbb{Q} $ 上での線形独立性のより強力で定量的な基準へと拡張する。

ABSTRACT

In this paper we deduce a lower bound for the rank of a family of $p$ vectors in $\R^k$ (considered as a vector space over the rationals) from the existence of a sequence of linear forms on $\R^p$, with integer coefficients, which are small at $k$ points. This is a generalization to vectors of Nesterenko's linear independence criterion (which corresponds to $k=1$), used by Ball-Rivoal to prove that infinitely many values of Riemann zeta function at odd integers are irrational. The proof is based on geometry of numbers, namely Minkowski's theorem on convex bodies.

研究の動機と目的

• 奇数整数におけるリーマンゼータ関数の値を含む実数の族の $ \mathbb{Q} $ 上での線形独立性を示す課題に対処する。
• $ \zeta(3), \zeta(5), \ldots, \zeta(a) $ の $ \mathbb{Q} $ 上の線形包の次元に対する漸近的下界における定数を向上させない既存の手法の限界を克服する。
• ディオファントス近似におけるより鋭い階数推定を可能にするために、ネステルェンコの基準のベクトル値一般化を開発する。
• $ \mathbb{R}^p $ 内のベクトル族に適用可能な、定量的かつ有効な線形独立性基準を提供する。
• $ p $ 個の線形独立な小さい形式を構築する必要を減らし、代わりに一つの形式の系列に依存することで、無理数性結果の新たな証明を可能にする。

提案手法

• $ \mathbb{R}^k $ 内の $ p $ 個のベクトルの族の $ \mathbb{Q} $-階数の下界を導出するために、凸体のミンコフスキーの定理を適用する。
• $ \mathbb{R}^p $ 上の整数係数線形形式 $ L_n $ の系列を用い、$ k $ 個の異なる点 $ e_1, \ldots, e_k \in \mathbb{R}^p $ で小さいものとする。係数の成長を制御する。
• $ |L_n(e_j)| = Q_n^{-\tau_j + o(1)} $ かつ $ \max |\ell_{i,n}| \leq Q_n^{1+o(1)} $ であるならば、$ e_1, \ldots, e_k $ を行とする行列の列ベクトルの有理数階数は、少なくとも $ k + \sum_{j=1}^k \tau_j $ 以上であることを確立する。
• $ e_1, \ldots, e_k $ が $ \mathbb{R} $-線形独立であり、かつそれらの張る空間が非零の有理数点を含まないことを証明する。
• 特定の凸体が非零の整数点を含まないことを示すことで、線形独立性の定量的バージョン（結論 (iii)）を導出する。
• 線形形式の点での小ささと、元のベクトル系の $ \mathbb{Q} $ 上での階数との間の転送原理を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ k $ 個の異なる点で小さい整数係数線形形式の系列が存在するならば、$ \mathbb{R}^p $ 内の $ p $ 個のベクトル族の最小有理数階数は何か？
• RQ2 スカラー値に対するネステルェンコの線形独立性基準は、高次元空間内のベクトル系へどのように一般化できるか？
• RQ3 $ k $ 点における線形形式の減衰率にどのような定量的条件を課すと、対応するベクトルの有理数スパンの次元が高くなるか？
• RQ4 奇数整数におけるゼータ値の無理数性証明を、必要な独立な小さい形式の数を減らすことで簡略化できるか？
• RQ5 全ての線形独立性を証明せず、一つの小さい線形形式の系列のみを用いて、ベクトル族の階数に対する下界を導出することは可能か？

主な発見

• この論文は、ネステルェンコの基準をベクトル系へ一般化し、$ \mathbb{R}^p $ 内の $ k $ 個の点が、$ Q_n^{-\tau_j + o(1)} $ の速度で減衰する整数係数線形形式の系列を持つならば、それらの点を行とする行列の列ベクトルの $ \mathbb{Q} $-階数が、少なくとも $ k + \sum_{j=1}^k \tau_j $ 以上であることを証明する。
• 任意の $ \varepsilon > 0 $ と十分大きな奇数 $ a $ に対して、$ N = \left\lfloor \frac{1 - \varepsilon}{1 + \log 2} \log a \right\rfloor $ 個の奇数 $ \sigma_1, \ldots, \sigma_N \in [3, a] $ が存在し、$ 1, \zeta(\sigma_1), \ldots, \zeta(\sigma_N) $ が $ \mathbb{Q} $ 上で線形独立であり、かつ $ \sigma_i $ が $ a^\varepsilon $ 以上離れている。
• この方法により、$ \mathcal{C}(\varepsilon, Q) $ と表される集合が、$ e_1, \ldots, e_k $ の張る空間内で $ Q^{\tau_j - \varepsilon} $ 以内にあり、直交補空間内で $ Q^{-1 - \varepsilon} $ 以内にあるベクトルから成り、非零の整数点を含まないことが示される。
• この結果により、$ e_1, \ldots, e_k $ の $ \mathbb{R} $-線形包が非零の有理数ベクトルを含まないことが保証され、$ \mathbb{R} $ 上での強い線形独立性が得られる。
• この基準により、$ \zeta(2), \zeta(3), \log 2 $ のような既知の線形独立性結果の別証明が可能となり、$ p $ 個の独立な小さい形式ではなく、一つの形式の系列のみで十分である。
• ゼータ値にこの基準を適用することで、全セットが独立であることが分かっていなくても、ゼータ値の族の $ \mathbb{Q} $-階数に対する下界を導出するフレームワークを提供する。