[論文レビュー] Nets of graded $C^*$-algebras over partially ordered sets

S. А. Grigoryan, E. V. Lipacheva+1 more|arXiv (Cornell University)|May 9, 2019

Advanced Algebra and Logic参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、部分順序集合上のヒルベルト空間のネットから生成されるC*-代数のネットを導入し、各局所C*-代数が部分順序集合の第一ホモトピー群π₁(K)によって順序付けられていることを示している。これらの代数の帰納的極限（コロナ）もπ₁(K)に順序付けられることを確立し、このようなネット間の準同型写像が、π₁に誘導される準同型写像が埋め込みである場合に限り、順序付けを保存するgradedな準同型写像を誘導する。

ABSTRACT

The paper deals with $C^*$-algebras generated by a net of Hilbert spaces over a partially ordered set. The family of those algebras constitutes a net of $C^*$-algebras over the same set. It is shown that every such an algebra is graded by the first homotopy group of the partially ordered set. We consider inductive systems of $C^*$-algebras and their limits over maximal directed subsets. We also study properties of morphisms for nets of Hilbert spaces as well as nets of $C^*$-algebras.

研究の動機と目的

• 部分順序集合K上のヒルベルト空間のネットからC*-代数を構成すること。
• これらのC*-代数が部分順序集合Kの第一ホモトピー群π₁(K)によって順序付けられることを示すこと。
• 局所C*-代数の帰納的極限（コロナ）を定義し、それがπ₁-順序付けを継承することを証明すること。
• ネット間の準同型写像とその順序付けに対する挙動を分析すること。
• 準同型写像が順序付けを保存するための条件を確立すること、特に誘導されたπ₁への写像が埋め込みである場合を重点的に検討すること。

提案手法

• 順序関係およびその逆を用いて、部分順序集合K上の基本的経路およびループを定義する。
• 4つの公理（1）〜（4）を用いて、経路の合成を同定する同値関係を導入し、経路の系列からなる経路半群Sを構成する。
• 商集合S̃ = S/~を形成し、誘導された乗法演算に関して、これは群準同型としての性質を持つ。
• 固定された基点におけるループの同値類の集合として、第一ホモトピー群π₁(K)を定義し、経路の連結によって誘導される群演算を備える。
• 各a ∈ Kに対して、π₁(K)上のユニタリ作用素を経路に関連づけ、その直和の閉包としてC*-代数A_a^Kを構成する。
• 部分順序集合の準同型写像φ: K → Lと、それによって誘導される代数上の写像を用いて、C*-代数のネット間の準同型写像を定義し、φ*が埋め込みである場合に限り、順序付けと整合性を持つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、部分順序集合K上のヒルベルト空間のネットからC*-代数を構成できるか？
• RQ2 第一ホモトピー群π₁(K)は、得られるC*-代数の順序付けにおいて果たす役割は何か？
• RQ3 局所C*-代数の帰納的極限（コロナ）はどのようにしてπ₁-順序付けを継承するか？
• RQ4 ネット間のC*-代数の準同型写像がπ₁-順序付けを保存する条件は何か？
• RQ5 誘導された準同型写像φ*がπ₁に単射でない場合、順序付けにはどのような影響が生じるか？

主な発見

• 各局所C*-代数A_a^Kは、部分順序集合Kの第一ホモトピー群π₁(K)によって自然に順序付けられている。
• 局所C*-代数の帰納的極限（コロナ）もπ₁(K)に順序付けられており、局所代数から継承された順序付けを持つ。
• ネット間のC*-代数の準同型写像は、誘導された準同型写像φ*が埋め込みである場合に限り、代数上にgradedな準同型写像を誘導する。
• X = Y ∕ {(0,0)} かつYが単位円板である例では、φ*はπ₁(X) = ℤをπ₁(Y) = {0}に写し、誘導された準同型写像Φ*は埋め込みでない。これは、順序付けの保存のためにはφ*が単射である必要があることを示している。
• π₁(K) = ℤの場合、C*-代数A_a^Kはユニタリシフト作用素によって生成され、C(S¹)に同型である。一方、π₁(L)が自明な場合、A_x^Lはℂに同型である。これは、順序付けが位相に依存することを示している。