[論文レビュー] Network analysis of the state space of chaotic map in digital domain.

Chengqing Li|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2014

Chaos-based Image/Signal Encryption参考文献 45被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ロジスティック写像などのカオス的写像の状態空間を、固定小数点演算における有向ネットワークとしてモデル化することで、その状態空間を分析する。各状態をノード、遷移をエッジとして扱い、ネットワークがスケールフリー特性を示すことを証明する。これにより、デジタルカオス的システムにおける擬似乱数の品質評価に構造的根拠が得られる。

ABSTRACT

Complex dynamics of chaotic maps under an infinite-precision mathematical framework have been well known. The case in a finite-precision computer remains to be further explored. Previous work treated a digital chaotic map as a black box and gave different explanations according to the test results of the output. Using the Logistic map as a typical example, we disclose some dynamical properties of chaotic maps in fixed-point arithmetic by studying its corresponding state network, where every possible value is considered as a node and every possible mapping relation between a pair of nodes works as a directed edge. The scale-free properties of the state network are quantitatively proven. The obtained results can be extended to the scenario of floating-point arithmetic and to other chaotic maps. Understanding the real network structure of the state space of a chaotic map in the digital domain will help evaluate and improve the randomness of pseudo-random number sequences generated by chaotic maps.

研究の動機と目的

• 無限精度の力学的挙動が完全に適用されない有限精度デジタルシステムにおけるカオス的写像の動的挙動を調査すること。
• デジタルカオス的写像をブラックボックスとして扱うのではなく、内部の状態遷移構造を分析すること。
• 固定小数点演算実装によって形成される状態空間ネットワークのトポロジー的性質を特徴づけること。
• 他のカオス的写像や浮動小数点形式に対しても適用可能なフレームワークを確立すること。
• 擬似乱数のランダムネス評価と向上を支援する構造的理解を提供すること。

提案手法

• 固定小数点演算におけるカオス的写像の状態空間を、各可能な状態をノードとする有向ネットワークとしてモデル化する。
• カオス的写像の再帰関係による決定的写像に基づき、ノード間の有向エッジを定義する。
• 得られた状態ネットワークの次数分布および構造的性質を調査するためにネットワーク解析技術を適用する。
• 次数分布の数学的解析を通じて、ネットワークのスケールフリー性（べき乗則次数分布を特徴とする）を証明する。
• 構造的およびトポロジカルな推論を用いて、浮動小数点演算および他のカオス的写像への展開を図る。
• ネットワーク表現を活用して、もともと見かけ上ランダムに思えるデジタル力学的挙動に隠れた規則性を明らかにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定小数点演算下におけるデジタルカオス的写像の状態空間に、どのような根本的なネットワーク構造が存在するか？
• RQ2 次数分布などのトポロジカルな性質は、デジタルカオス的写像の挙動をどのように特徴づけるか？
• RQ3 有限精度システムにおけるカオス的写像の状態ネットワークに、どの程度スケールフリー性が顕在化するか？
• RQ4 固定小数点ネットワークから得られる構造的知見は、浮動小数点演算および他のカオス的写像へ一般化可能か？
• RQ5 ネットワーク構造は、カオス的写像によって生成される擬似乱数列のランダムネス品質とどのように関係するか？

主な発見

• 固定小数点演算におけるロジスティック写像の状態ネットワークは、べき乗則次数分布を示すスケールフリー位相を有する。
• ネットワークの次数分布に関する数学的解析を通じて、スケールフリー性が定量的に証明された。
• ネットワーク構造は、デジタルカオス的力学的挙動に隠れた規則性を明らかにし、完全にランダムな挙動であるという仮定に疑問を呈する。
• 共有される構造的原則のため、浮動小数点演算および他のカオス的写像に対しても、同様の知見が拡張可能である。
• ネットワークベースの解析は、カオス的写像から得られる擬似乱数列のランダムネス評価と向上に新たなフレームワークを提供する。
• 結果として、有限状態空間とネットワークトポロジーのため、デジタルカオス的システムは無限精度の対応物と同様にエルゴディックではないことが示された。