[論文レビュー] Network Reconstruction from Intrinsic Noise

David Hayden, Ye Yuan+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2013

Gene Regulatory Network Analysis参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、内在的確率的ノイズによって駆動される出力測定値のみから未知の線形時不変（LTI）力学的システムネットワークを再構築する問題に取り組む。最小位相である場合、閉ループ伝達行列が最小位相であれば、ネットワーク再構築は出力スペクトル密度から一意に同定可能であることを証明する。それ以外の場合は、すべての同等ネットワークが単一の代数的リカチ方程式（ARE）の解に対応し、解の数は隠れ状態数によって上限が定まる。

ABSTRACT

This paper considers the problem of inferring an unknown network of dynamical systems driven by unknown, intrinsic, noise inputs. Equivalently we seek to identify direct causal dependencies among manifest variables only from observations of these variables. For linear, time-invariant systems of minimal order, we characterise under what conditions this problem is well posed. We first show that if the transfer matrix from the inputs to manifest states is minimum phase, this problem has a unique solution irrespective of the network topology. This is equivalent to there being only one valid spectral factor (up to a choice of signs of the inputs) of the output spectral density. If the assumption of phase-minimality is relaxed, we show that the problem is characterised by a single Algebraic Riccati Equation (ARE), of dimension determined by the number of latent states. The number of solutions to this ARE is an upper bound on the number of solutions for the network. We give necessary and sufficient conditions for any two dynamical networks to have equal output spectral density, which can be used to construct all equivalent networks. Extensive simulations quantify the number of solutions for a range of problem sizes. For a slightly simpler case, we also provide an algorithm to construct all equivalent networks from the output spectral density.

研究の動機と目的

• 出力測定値のみで、内在的ノイズによって駆動される未知のLTIシステムネットワークが、どのような条件下で一意に再構築可能かを特定すること。
• 最小位相仮定を緩和した場合に、同じ出力スペクトル密度を生成するすべてのネットワークの集合を特徴づけること。
• 簡略化された場合において、出力スペクトル密度からすべての同等ネットワークを体系的に構成する方法を提供すること。
• 2つの動的ネットワークが同一の出力スペクトル密度を持つための必要十分条件を確立すること。
• さまざまな問題サイズにおけるシミュレーションを用いて、ネットワーク再構築問題の解の数を定量すること。

提案手法

• 本稿は、出力パワー スペクトル密度のスペクトル因子分解を用い、観測可能なデータと潜在的なネットワーク構造との関係を確立する。
• 最小位相系の場合、スペクトル因子分解は入力の符号選択を除いて一意であることが証明され、これによりネットワーク再構築が一意に保証される。
• 非最小位相系の場合、問題は隠れ状態数に等しい次元の単一の代数的リカチ方程式（ARE）の解法に帰着される。
• このAREの解は、観測された出力スレクトル密度と一致するすべての可能なネットワークに対応する。
• 状態空間実現とスペクトル因子分解理論を用いて、2つのネットワークが同一の出力スレクトル密度を持つための必要十分条件を導出する。
• 簡略化された状況において、出力スレクトル密度とAREの解構造に基づき、すべての同等ネットワークを構成するためのアルゴリズムを提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 出力測定値のみが利用可能で、システムが内在的ノイズによって駆動される場合、ネットワーク再構築問題がどのような条件下で適切に定義されるか。
• RQ2 与えられたシステムと同一の出力スレクトル密度を生成できるすべてのネットワークの集合は何か。
• RQ3 ネットワーク再構築問題の解の数は、システム構造と隠れ状態数にどのように依存するか。
• RQ4 問題が単一の代数的リカチ方程式（ARE）の解法に還元可能か。その場合、同定可能性にどのような意味があるか。
• RQ5 2つの異なる動的ネットワークが、出力スレクトル密度の観点から観測的に同等であるための必要十分条件は何か。

主な発見

• 閉ループ伝達行列が最小位相である場合、ネットワーク再構築問題は一意の解を持つ。これは、出力スレクトル密度からネットワーク構造が一意に同定可能であることを意味する。
• 非最小位相系の場合、同等ネットワークの数は、単一の代数的リカチ方程式（ARE）の解の数によって上限が定まり、AREの次元は隠れ状態数に等しい。
• 同じ出力スレクトル密度を持つすべてのネットワークは、同一のAREの異なる解に対応し、観測的同等性の完全な特徴づけが得られる。
• 本稿は、簡略化された状況において、出力スレクトル密度からすべての同等ネットワークを生成する構成的アルゴリズムを提供する。
• シミュレーションにより、解の数はシステムサイズに応じて増加するが、有限であり、AREの解の数によってきびしく上限が定まることが示された。
• 理論的枠組みにより、2つのネットワークが同一の出力スレクトル密度を持つための必要十分条件は、その状態空間実現が特定のAREに基づくスペクトル因子分解および行列等式条件を満たすことであると確立された。