[論文レビュー] Network Rewriting I: The Foundation

Lars Hellström|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2012

Logic, programming, and type systems参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、有向非巡回グラフ（ネットワーク）に基づくネットワーク再帰枠組みを導入し、多重線形代数の式を形式化する。これは、非可換およびテンソル的構造を扱えるように、従来の木構造の項を一般化するものである。PROPの公理がネットワーク評価に内在的に符号化されていることが示され、部分式の代数的およびグラフ理論的特徴付けを有する再帰理論が構築され、ダイアモンド補題が証明されるとともに、'ラップアンビギュイティ'と呼ばれる新しい非結合性の障害要因が同定される。

ABSTRACT

A theory is developed which uses "networks" (directed acyclic graphs with some extra structure) as a formalism for expressions in multilinear algebra. It is shown that this formalism is valid for arbitrary PROPs (short for 'PROducts and Permutations category'), and conversely that the PROP axioms are implicit in the concept of evaluating a network. Ordinary terms and operads constitute the special case that the graph underlying the network is a rooted tree. Furthermore a rewriting theory for networks is developed. Included in this is a subexpression concept for which is given both algebraic and effective graph-theoretical characterisations, a construction of reduction maps from rewriting systems, and an analysis of the obstructions to confluence that can occur. Several Diamond Lemmas for this rewriting theory are given. In addition there is much supporting material on various related subjects. In particular there is a "toolbox" for the construction of custom orders on the free PROP, so that an order can be tailored to suit a specific rewriting system. Other subjects treated are the abstract index notation in a general PROP context and the use of feedbacks (sometimes called traces) in PROPs.

研究の動機と目的

• 多重線形代数の式を形式化する枠組みを構築し、根付き木構造を超えてテンソル積や非可換演算を扱えるように一般化すること。
• PROPの公理がネットワークに基づく式の評価に暗黙的に符号化されていることを示すこと。
• 部分式の代数的およびグラフ理論的特徴付けを有するネットワークの再帰理論を構築すること。
• 非結合性の障害要因を分析し、特に 'ラップアンビギュイティ' と呼ばれる新しいクラスの曖昧性を同定すること。
• 自由PROPにおけるカスタム順序付けのためのツールを提供し、特定の再帰システムを支援すること。

提案手法

• 多重線形代数の形式的表現として、追加構造（ネットワーク）を備えた有向非巡回グラフを使用する。
• 到達可能性や連結成分などのグラフ理論的性質と、代数的条件の両方を用いて部分式を定義する。
• 構造的依存関係を追跡するために、転送型を用いて再帰システムからの還元写像を構築する。
• 特定の再帰システムに適合する自由PROPにおけるカスタム順序付けを定義するためのツールボックスを導入する。
• 一般PROPフレームワーク内での抽象的添字表記およびフィードバック（トレース）演算を適用する。
• 特定の条件下で結合性を保証するための複数のダイアモンド補題を証明する。特に、良好に振る舞う再帰システムに対して有効である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 テンソル積や非可換演算を扱えるように、多重線形代数の式を根付き木構造を超えてどのように形式化できるか？
• RQ2 PROPの公理とネットワークに基づく式の評価との間には、明確な関係が存在するか？
• RQ3 部分式が代数的にもグラフ理論的にも適切に定義されるような、ネットワークの再帰システムは、どのように構築できるか？
• RQ4 ネットワーク再帰において、古典的な重複および包含の曖昧性とは異なる、新しい種類の非結合性の障害要因は何か？
• RQ5 自由PROPにおけるカスタム順序付けを、再帰システムの停止性および結合性を支援するために体系的に構築できるか？

主な発見

• ネットワークの形式的枠組みは任意のPROP構造を捉えられ、PROPの公理はネットワーク評価プロセスに暗黙的に埋め込まれている。
• この理論は、非木グラフを許容することで、従来の項再帰を一般化し、量子回路やホプフ代数などの構造の表現を可能にする。
• 'ラップアンビギュイティ' と呼ばれる新しい曖昧性のクラスが同定され、規則が重なり合わずに互いの周囲を包み込む場合に生じ、それらは既約ではあるが同値でない還元を引き起こす。
• 部分式の概念は、ホモモーティズムによる代数的特徴付けと、到達可能性および成分構造によるグラフ理論的特徴付けの両方で特徴付けられる。
• 還元写像は、転送型を用いて再帰システムから構築され、再帰の過程での構造的依存関係を正確に追跡可能となる。
• 複数のダイアモンド補題が証明され、ネットワーク再帰枠組みにおける結合性の十分条件を提供する。