[論文レビュー] Neumann problem for non-divergence elliptic and parabolic equations with BMO$_x$ coefficients in weighted Sobolev spaces

Hongjie Dong, Doyoon Kim+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2015

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ひとこと要約

本稿では、時間に関して可測で、空間に関しては重み付き測度の下で小さな平均振動（BMO$_x$）を示す主要係数を備えた、非発散型楕円型および放物型方程式のノイマン境界条件における重み付きソボレフ空間上での$L_p$推定と一意的可解性を確立する。主な結果は、大きな$λ$に対して可解性を保証するパrameter $λ$ を含む$L_p$推定であり、これはクリロフのアプローチを重み付き空間およびBMO$_x$係数へと拡張し、確率偏微分方程式（SPDE）への応用を含む。

ABSTRACT

We prove the unique solvability in weighted Sobolev spaces of non-divergence form elliptic and parabolic equations on a half space with the homogeneous Neumann boundary condition. All the leading coefficients are assumed to be only measurable in the time variable and have small mean oscillations in the spatial variables. Our results can be applied to Neumann boundary value problems for {\em stochastic} partial differential equations with BMO$_x$ coefficients.

研究の動機と目的

• 非発散型楕円型および放物型方程式のノイマン境界条件を満たす重み付きソボレフ空間上での$L_p$推定と一意的可解性を確立すること。
• KrylovのBMO$_x$係数に対する$L_p$理論を、重み付き測度を用いたノイマン問題設定へと拡張すること。
• 時間に関して可測で、重み付き測度$x_1^{\theta-d}$に関する空間変数に関して小さな平均振動を示す主要係数を扱うこと。
• BMO$_x$係数を有する確率偏微分方程式（SPDE）に適用可能な枠組みを提供すること。
• ディリクレ問題に関する先行研究を一般化し、ノイマン境界条件およびより広範な係数クラスを許容すること。

提案手法

• 時間に関してのみ可測な係数を持つ方程式に対する平均振動推定に基づく摂動法を採用する。
• 重み付き$L_p$空間におけるフェッファーマン＝スタインの鋭い最大関数定理およびハリー＝リトルウッドの最大関数定理を用いて、$L_p$推定を導出する。
• 2階微分係数$D^2u$を2つの部分に分けて取り扱う：$D_1u$は微分後の発散型方程式を経由し、$D_{x'}^2u$は$x_1$および$x'$方向における別々の振動推定を用いる。
• スケーリングおよびコンパクトネスの議論を用いて、時間に依存しない係数の場合に$R_0 = 0$となる局所化された設定に問題を簡略化する。
• 補助変数における周期的カットオフ関数を導入し、$φ(t,z) = u(t,x)\zeta(y)\cos(\sqrt{\lambda}y)$の形の関数$φ$を用いて、周期的構造を持つ高次元設定への問題の還元を行う。
• 下位項を吸収するためのブートストラップ法を用い、最終的な推定$λ\|u\|_{p,\theta} \leq C_0\|f\|_{p,\theta}$を$λ$が十分大きい場合に得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間に関して可測で、空間に関しては小さな平均振動（BMO$_x$）を示す主要係数を有する非発散型放物型および楕円型方程式のノイマン境界条件における$L_p$推定は、どのように確立できるか？
• RQ2 重み付きソボレフ空間理論がノイマン設定で有効であるための重みパrameter $θ$ の鋭い範囲は何か？
• RQ3 クリロフ型の平均振動アプローチは、非発散型方程式のノイマン問題にどのように適合できるか？
• RQ4 可解性理論は、VMO やDini連続性のクラスを超えて、空間的BMO$_x$正則性および時間可測性を有する係数へと拡張可能か？
• RQ5 重み$x_1^{\theta-d}$は、重み付き$L_p$ノルムにおける解作用素の有界性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿では、すべての十分に大きな$λ$に対して、$C_0$が$d$、$\delta$、$p$、$\theta$、$R_0$のみに依存する形で、$λ\|u\|_{p,\theta} \leq C_0\|f\|_{p,\theta}$という$L_p$推定を証明する。
• 重み付きソボレフ空間$H_{p,\theta}^2$および$\mathbb{H}_{p,\theta}^2$におけるノイマン問題の一意的可解性が、$θ \in (d-1, d-1+p)$の範囲で確立され、これは熱方程式に対しても鋭い結果である。
• 時間に関して可測で、重み付き測度$x_1^{\theta-d}dx$に関する空間変数に関して小さな平均振動を示す係数を、成功裏に扱った。これは、先行研究をノイマンケースへと拡張したものである。
• 証明は、補助変数における周期的カットオフ関数を用いた新しい還元に依存しており、これにより高次元$L_p$推定の適用が可能になる。
• 本結果は、BMO$_x$係数を有する確率偏微分方程式（SPDE）に適用可能であり、不規則な係数を有するSPDEの理論的基盤を提供する。
• 推定は下位項の摂動に対して安定である：$b_i$および$c$項がそのノルムが有界であり、$λ$が十分に大きい限り、推定は破綻しない。