[論文レビュー] Neural networks meet anisotropic hyperelasticity: A framework based on generalized structure tensors and isotropic tensor functions

Karl A. Kalina, Jörg Brummund+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2024

Elasticity and Material Modeling被引用数 4

ひとこと要約

本論文は、一般化された構造テンソルと等方的不変量を用いて、異方性超弾性材料をモデル化するための物理的制約を施したニューラルネットワーク（PANN）フレームワークを提案する。変形不変量からのエネルギーベースのモデルを構築し、アーキテクチャと正則化によって物理的原則を強制することで、最小限のデータで高い精度を達成し、特に繊維強化複合材料のような複雑なマイクロ構造において、補完的ネットワークよりも内挿および外挿性能に優れる。

ABSTRACT

We present a data-driven framework for the multiscale modeling of anisotropic finite strain elasticity based on physics-augmented neural networks (PANNs). Our approach allows the efficient simulation of materials with complex underlying microstructures which reveal an overall anisotropic and nonlinear behavior on the macroscale. By using a set of invariants as input, an energy-type output and by adding several correction terms to the overall energy density functional, the model fulfills multiple physical principles by construction. The invariants are formed from the right Cauchy-Green deformation tensor and fully symmetric 2nd, 4th or 6th order structure tensors which enables to describe a wide range of symmetry groups. Besides the network parameters, the structure tensors are simultaneously calibrated during training so that the underlying anisotropy of the material is reproduced most accurately. In addition, sparsity of the model with respect to the number of invariants is enforced by adding a trainable gate layer and using lp regularization. Our approach works for data containing tuples of deformation, stress and material tangent, but also for data consisting only of tuples of deformation and stress, as is the case in real experiments. The developed approach is exemplarily applied to several representative examples, where necessary data for the training of the PANN surrogate model are collected via computational homogenization. We show that the proposed model achieves excellent interpolation and extrapolation behaviors. In addition, the approach is benchmarked against an NN model based on the components of the right Cauchy-Green deformation tensor.

研究の動機と目的

• 複雑なマイクロ構造を有する材料における、異方性有限ひずみ弾性のマルチスケールモデリングのためのデータ駆動型フレームワークを開発すること。
• アーキテクチャの設計によって、物体性、材料対称性、熱力学的整合性といった基本的な物理的原則を満たすニューラルネットワークモデルを構築すること。
• 不変量ベースの入力とトレーニング可能な構造テンソルを活用することで、応力-ひずみペアのみを含むスパースな実験的またはシミュレーションデータから効率的な学習を可能にすること。
• ℓp正則化を用いたトレーニング可能なゲート層により、精度を損なわずにアクティブな不変量の数を削減することでモデルのスパarsityを実現すること。
• 補完的ニューラルネットワークとの性能比較を通じて、一般化性能とロバストネスの優位性を示すこと。

提案手法

• 右コーシー＝グリーンテンソルと完全に対称な2階、4階、または6階の構造テンソルから導出される不変量を用いて、材料の異方性を符号化する。
• ニューラルネットワークは、これらの不変量を入力として、応力エネルギー密度を出力する。これにより、設計上、熱力学的整合性と物体性が保証される。
• トレーニング中に不必要な不変量を特定・抑制することでスパarsityを実現する、ℓp正則化（p = 1/4）を施したトレーニング可能なゲート層を導入する。
• 構造テンソルは同時にトレーニング中にキャリブレーションされ、材料の内在する異方性を正確に表現する。
• 損失関数には応力と材料接線の予測損失（0.7σ + 0.3c）と、調整可能な重みを有するゲート正則化項が含まれ、スパarsityと精度のバランスを取る。
• モデルは、代表体積要素（RVE）の計算的ホモジゼーションからのデータでトレーニングされ、応力-ひずみペアのみを含むケースも含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不変量ベースの入力と構造テンソルを用いた物理的制約を施したニューラルネットワークは、複雑な異方性超弾性挙動を正確に捉えることができるか？
• RQ2 トレーニング可能な構造テンソルの導入により、モデルの材料対称性および異方性表現能力はどのように向上するか？
• RQ3 ℓp正則化を施したトレーニング可能なゲート層は、予測精度を損なわず、モデルの複雑さをどの程度低減できるか？
• RQ4 不変量ベースのPANNは、補完的ニューラルネットワークと比較して、内挿および外挿性能においてどのように差を示すか？
• RQ5 応力-ひずみタプルのみでトレーニングされた場合、このフレームワークはスパースなデータに対しても効果的に一般化できるか？

主な発見

• 不変量ベースのPANNは、5つのRVEのうち4つで2層16ニューロンの隠れ層のみで損失が1×10⁻⁴未満に達したが、座標ベースのモデルは3層を要し、依然として5×10⁻³未満に収束しなかった。
• 立方晶球体を有するRVEでは、不変量ベースのモデルが2層以上で損失が1×10⁻⁴未満に達した一方、座標ベースのモデルは64ニューロンを超えて改善が見られなかった。
• wgate = 5×10⁻⁵のトレーニング可能なゲート層は、すべてのRVEでアクティブな不変量の数を効果的に削減したが、予測性能の低下は認められなかった。
• モデルは優れた外挿性能を示し、トレーニング分布外のひずみ状態に対しても高い精度を維持した。
• 特に繊維強化複合材料のような複雑な異方性を有する材料において、補完的ネットワークよりも精度とデータ効率に優れた性能を示した。
• 一般化された構造テンソルの使用により、横方向等方性や立方晶対称性を含む広範な対称性群を高い忠実度で表現可能となった。