[論文レビュー] Neural networks meet hyperelasticity: A guide to enforcing physics

Lennart Linden, Dominik K. Klein+4 more|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2023

Elasticity and Material Modeling被引用数 7

ひとこと要約

この論文では、変形不変量（I₁, I₂, I₃）を入力とし、解析的正規化項を用いることで、物体的性、材料対称性、多凸性、熱力学的整合性、および応力なしの未変形状態を構造的に強制する、ハイパーエラスティック材料向けの物理的補強型ニューラルネットワークモデルを提案する。このモデルは、非負で物理的に意味のある応力応答を保証し、有限要素解析におけるクリーンなデータおよびノイズのあるデータの両方で、正確なキャリブレーションと外挿を達成する。

ABSTRACT

In the present work, a hyperelastic constitutive model based on neural networks is proposed which fulfills all common constitutive conditions by construction, and in particular, is applicable to compressible material behavior. Using different sets of invariants as inputs, a hyperelastic potential is formulated as a convex neural network, thus fulfilling symmetry of the stress tensor, objectivity, material symmetry, polyconvexity, and thermodynamic consistency. In addition, a physically sensible stress behavior of the model is ensured by using analytical growth terms, as well as normalization terms which ensure the undeformed state to be stress free and with zero energy. In particular, polyconvex, invariant-based stress normalization terms are formulated for both isotropic and transversely isotropic material behavior. By fulfilling all of these conditions in an exact way, the proposed physics-augmented model combines a sound mechanical basis with the extraordinary flexibility that neural networks offer. Thus, it harmonizes the theory of hyperelasticity developed in the last decades with the up-to-date techniques of machine learning. Furthermore, the non-negativity of the hyperelastic neural network-based potentials is numerically examined by sampling the space of admissible deformations states, which, to the best of the authors' knowledge, is the only possibility for the considered nonlinear compressible models. For the isotropic neural network model, the sampling space required for that is reduced by analytical considerations. In addition, a proof for the non-negativity of the compressible Neo-Hooke potential is presented. The applicability of the model is demonstrated by calibrating it on data generated with analytical potentials, which is followed by an application of the model to finite element simulations. In addition, an adaption of the model to noisy data is shown and its [...]

研究の動機と目的

• すべての主要な物理的制約を同時に満たすニューラルネットワークベースのハイパーエラスティックな構成モデルの開発。
• アーキテクチャに物理的原則を直接埋め込むことで、構成モデリングにおけるブラックボックス型ニューラルネットワークの限界を克服すること。
• 等方的および縦方向に等方的なハイパーエラスティック挙動の両方において、熱力学的整合性、物体的性、材料対称性を保証すること。
• スパarsなまたはノイズのある実験データにおいても、信頼性の高い外挿と頑健なキャリブレーションを可能にすること。
• 変形空間のサンプリングを用いて、数値的に検証された非負のハイパーエラスティックポテンシャルを、圧縮可能な材料に対して提供すること。

提案手法

• 変形不変量（I₁, I₂, I₃）を入力とする凸ニューラルネットワークとしてハイパーエラスティックポテンシャルを定式化する。
• 凸ネットワークアーキテクチャと解析的成長項を用いて、多凸性と熱力学的整合性を強制する。
• 不変量に基づく応力正規化項を適用し、応力なしの基準状態とゼロ変形状態でのゼロエネルギーを強制する。
• スバーヴォルブトレーニングを用いて、応力-歪みデータに直接ネットワークをキャリブレートし、一般化性能と物理的整合性を向上させる。
• 等方的ケースにおける非負性の検証のため、サンプリング空間の解析的簡略化を実施する。
• 許容可能な変形状態の数値的サンプリングにより非負性を検証し、圧縮可能なネオ・フック型ポテンシャルのための証明を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ニューラルネットワークベースのハイパーエラスティックモデルは、物体的性、材料対称性、多凸性、熱力学的整合性といったすべての基本的構成条件を同時に強制できるか？
• RQ2 どのようにして解析的正規化項と成長項を設計すれば、未変形状態が応力なしでエネルギーなしとなるように保証できるか？
• RQ3 ノイズのあるまたはスパarsな実験データでトレーニングされた場合、モデルは物理的整合性と正確性をどの程度維持できるか？
• RQ4 数値的サンプリングを用いて、圧縮可能な非線形モデルのハイパーエラスティックポテンシャルの非負性を厳密に検証できるか？
• RQ5 有限要素解析および外挿タスクにおいて、モデルの性能は古典的な解析的モデルと比べてどの程度優れているか？

主な発見

• 提案されたモデルは、アーキテクチャ設計によって、多凸性や物体的性を含むすべての標準的構成条件を強制し、熱力学的整合性を保証する。
• 解析的正規化項の導入により、応力なしでエネルギーなしの基準状態が保証され、物理的現実性にとって極めて重要である。
• 解析的ポテンシャルから生成されたデータに対して正確なキャリブレーションを達成し、有限要素解析において優れた予測性能を示す。
• ノイズのあるデータでは、物理的制約が弱い標準的ニューラルネットワークよりも、物理的制約を強化したモデルが優れた外挿能力を示す。
• 許容可能な変形状態の空間全域において、ハイパーエラスティックポテンシャルの非負性が数値的に検証され、解析的対称性の考察によりサンプリング空間が顕著に削減された。
• 圧縮可能なネオ・フック型ポテンシャルの非負性について、形式的な証明が提供され、フレームワークの重要な理論的側面が検証された。