[論文レビュー] Neutral Stochastic Differential Delay Equations with Locally Monotone Coefficients

Yanting Ji, Qingshuo Song+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2015

Differential Equations and Numerical Methods参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、局所単調係数を有する中立型確率デルタ微分方程式（NSDDEs）の解の存在および一意性を、数値的オイラースキーム近似を用いて確立する。主な貢献は、Krylovの局所単調性条件をNSDDEsに拡張し、グローバルリプシッツ連続性よりも弱い条件下でパスワイズ一意性および強い解の存在を保証することにある。

ABSTRACT

In this paper, we prove the existence and uniqueness of the solution for neutral stochastic differential delay equations with locally monotone coefficients by using numerical approximation. An example is provided to illustrate our theory.

研究の動機と目的

• 局所単調性条件下における中立型確率デルタ微分方程式（NSDDEs）の理論におけるギャップを埋める。
• 現在および遅延された状態の微分を含むNSDDEsに、SDEsにおけるKrylovの解の存在および一意性結果を拡張する。
• グローバルリプシッツ条件よりも弱い仮定の下で、数値近似手法を用いて強い解の存在を厳密に確立するフレームワークを構築する。
• 非リプシッツ的だが局所単調係数を有するNSDDEsにおける数値スキームの理論的基盤を提供する。

提案手法

• 時間遅れを有する中立型SDEsにKrylovのオイラースキーム収束アプローチを適応する。
• ドリフトおよび拡散係数に局所単調性条件を課す：(C2)はグローバル成長、(C3)は局所リプシッツ型の振る舞い。
• リャプノフ型関数およびグローワル型不等式を用いて、解の期待値における成長を制御する。
• 重み関数ρ(t)を導入し、変数変換を用いて中立項X(t) − D(X(t−τ))を処理する。
• 初期パスξ(θ)の有界性（[−τ, 0]上で）および仮定(H)による可積分性を用いて、モーメント安定性を保証する。
• 中立項と状態変数の推定値を組み合わせ、解の2次モーメントに対する一様事前境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グローバルリプシッツ連続性ではなく局所単調性条件下で、中立型確率デルタ微分方程式の解の存在および一意性を確立できるか？
• RQ2 局所単調係数を有するNSDDEsに対して、オイラースキームは強収束するか？
• RQ3 局所単調性およびモーメント推定の文脈において、状態の遅延微分を含む中立構造（中立項）はどのように処理できるか？
• RQ4 係数bおよびσが満たすべき十分条件は何か？その条件下で、解は有限時間区間内でパスワイズ一意的かつ二階可積分的である。

主な発見

• 局所単調性および可積分性条件(C1)–(C4)の下で、NSDDE(1.4)は伊藤意味で一意な強い解を有する。
• 解は一様事前境界を満たす：sup₀≤t≤T 𝔼|X(t)|²ρ(t) < ∞ であり、ρ(t)は正の重み関数である。
• 提案された局所単調性フレームワークの下で、オイラースキーム近似は真の解に強収束する。
• 係数が非リプシッツ的であっても、局所単調性およびコンパクト集合上での可積分性を満たす限り、本手法は適用可能である。
• 立方非線形性および遅延依存係数を有する明示例(4.1)は、すべての条件を満たし、したがって一意解を有する。
• 中立項X(t) − D(X(t−τ))の処理を変換およびモーメント推定を細かく行うことで、KrylovおよびGyöngy–Sabanisの結果を中立系に拡張する証明技法が得られる。