[論文レビュー] Nevanlinna-Pick Kernels and Localization

Jim Agler, John E. McCarthy|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2016

Holomorphic and Operator Theory参考文献 4被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、ℂᵈ の有界領域における再生核ヒルベルト空間について、ネヴァンリンナ＝ピック補間問題が行列値関数および乗数ノルムに一般化される状況を特徴づける。このような空間がカーネルの局所化性質を満たし、ネヴァンリンナ＝ピック条件が成り立つのは、関連するブロック行列が半正定値であるときであり、かつそのときに限ることを示している。特に、ユニタリ同値に変換可能な重み付きシフトモデルに他ならない限り、単位球上に全 H∞ ノルムに対してそのようなカーネルは存在しない、という重要な結果が得られている。

ABSTRACT

We describe those reproducing kernel Hilbert spaces of holomorphic functions on domains in ${\Bbb C}^d$ for which an analogue of the Nevanlinna-Pick theorem holds, in other words when the existence of a (possibly matrix-valued) function in the unit ball of the multiplier algebra with specified values on a finite set of points is equivalent to the positvity of a related matrix. Our description is in terms of a certain localization property of the kernel.

研究の動機と目的

• 古典的なネヴァンリンナ＝ピック定理を高次元における行列値関数および乗数ノルムへ一般化すること。
• 補間問題が、あるブロック行列が半正定値であるときに限り解かれるような、再生核ヒルベルト空間の明確な条件を同定すること。
• 多変数設定におけるネヴァンリンナ＝ピック性質の鍵となる基準として、カーネルの局所化性質を確立すること。
• ℂᵈ の単位球上に、全 H∞ ノルムに対してネヴァンリンナ＝ピック条件を満たす再生核が存在するためには、それが特定のモデル空間とユニタリ同値でなければならないことを示すこと。

提案手法

• 有界領域 U ⊆ ℂᵈ における正則関数のヒルベルト空間を定義し、座標乗算作用素が指定されたスペクトル性質を持つ有界な d-重ねて定義する。
• 補間の行列値データが、カーネルと行列値を含むブロック行列の正定性と同値であるような m-補間空間の概念を導入する。
• カーネルの局所化性質を用いて、ネヴァンリンナ＝ピック条件が成り立つときの特徴づけを行い、半不変部分空間と作用素論の構造に依存する。
• 恒等式 ⟨(1/k)(rT)x, x⟩ ≥ 0 (r < 1) を用いて、圧縮作用素の正定性を示す再生核および乗数ノルムの理論を適用する。
• カラテオドリ度量とカーネルの対称性を用いて、カーネルが特定の因子分解 kₗ(μ) = f(λ)⁻¹ f(μ)⁻¹ (1 − ⟨μ,λ⟩)⁻¹ を持つことを導く関数方程式を導出する。
• ネヴァンリンナ＝ピック条件が m=1, n=2 のとき成り立つならば、カーネルは kₗ(μ) = |f(λ)|² / k₀(0) ⋅ (1 − ⟨μ,λ⟩)⁻¹ の形を取らざるを得ず、特定の構造が強制されることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℂᵈ の領域上における行列値関数に対して、ネヴァンリンナ＝ピック補間問題が、あるブロック行列の正定性と同値となるのはいつか？
• RQ2 乗数ノルムの文脈において、ネヴァンリンナ＝ピック条件が成り立つ再生核ヒルベルト空間が満たすべき構造的性質は何か？
• RQ3 任意の再生核に対して、ℂᵈ の単位球上における全 H∞ ノルムへのネヴァンリンナ＝ピック定理の拡張は可能か？
• RQ4 カーネルの局所化と多変数作用素論における補間問題の可解性との間の明確な関係は何か？

主な発見

• 有界領域 U ⊆ ℂᵈ における再生核ヒルベルト空間が、すべての m, n およびデータに対してネヴァンリンナ＝ピック性質を満たすのは、カーネルが半不変部分空間に関連する特定の局所化条件を満たすときであり、かつそのときに限る。
• ℂᵈ の単位球 B ⊆ ℂᵈ に対して、全 H∞ ノルムに対してネヴァンリンナ＝ピック条件が成り立つようなカーネルが存在するのは、カーネルが kₗ(μ) = f(λ)⁻¹ f(μ)⁻¹ (1 − ⟨μ,λ⟩)⁻¹ の形（非零正則関数 f に対して）であるときのみである。
• ネヴァンリンナ＝ピック条件が m=1 および n=2 のとき成り立つならば、カーネルは kₗ(λ) = |k₀(λ)|² / k₀(0) ⋅ (1 − |λ|²)⁻¹ を満たし、カーネルの特定の因子分解が強制される。
• φ ∈ H∞ₖ に対する乗数ノルム条件は、行列 ((1 − φ(λⱼ)φ(λᵢ)*) / (1 − ⟨λⱼ,λᵢ⟩)) が正定値であるときかつそのときに限り成り立つ。これはカーネルが定理 4.2 のモデル空間とユニタリ同値であるときに限る。
• 一般のカーネルに対して単位球上でのネヴァンリンナ＝ピッグ定理の失敗は、‖φ‖ₕ∞ₖ > 1 であるが関連する行列が正定値のままとなる関数 φ ∈ H∞ₖ を構成することで示されている。これはノルム条件に反する。
• 命題 4.6 で得られたカーネル構造は、任意のこのようなカーネルがユニタリ同値にシフトモデルに他ならないことを示しており、従って一般のカーネルに対しては単位球上でのネヴァンリンナ＝ピッグ定理は成立しない。