[論文レビュー] Neveu-Schwarz and operators algebras III: Subfactors and Connes fusion

Sébastien Palcoux|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 26被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、局所的フォック空間と一次場を用いて、Neveu-Schwarz代数からJones-Wassermann構成を経て、新しいタイプの非可約有限深さ型 II₁ 量子群部分代数を構成する。Connesの融合則を計算し、$LSU(2)$表現からの量子次元の積として部分代数の指数を明示的に導出し、Perron-Frobenius理論により有限指数であることを確認する。

ABSTRACT

This paper is the third of a series giving a self-contained way from the Neveu-Schwarz algebra to a new series of irreducible subfactors. Here we introduce the local von Neumann algebra of the Neveu-Schwarz algebra, to obtain Jones-Wassermann subfactors for each representation of the discrete series. Then using primary fields we prove the irreducibility of these subfactors; to next compute the Connes fusion ring and obtain the explicit formula of the subfactors indices.

研究の動機と目的

• ユニタリな正エネルギー表現を有するNeveu-Schwarz代数から非可約有限深さ部分代数を構成すること。
• 局所的von Neumann代数を介して、${{\mathfrak{Vir}}}_{1/2}$の表現理論と部分代数理論との間の関係を確立すること。
• Neveu-Schwarz代数の離散系列表現に対するConnesの融合環を計算すること。
• LSU(2)の融合則から得られる量子次元を用いて、Jones-Wassermann部分代数の明示的指数式を導出すること。

提案手法

• 区間 $I \subset \mathbb{S}^1$ 上の滑らかな関数によるスメアリングを用いて、Neveu-Schwarz代数から局所的von Neumann代数 $\mathcal{M}_{ij}^{\ell}(I)$ を構成する。
• Takesakiのデヴィサージュ法とコセット構成を用いて、代数がフェルミオン的スーパー可換を有する超有限III₁因子であることを示す。
• 一次場を、非可約表現間の有界な相互作用写像として定義し、電荷 $\alpha, \beta$ のコセットデータによって分類する。
• 一次場のブレーディング関係を確立し、OPEの主要項を導出し、von Neumann密度と部分代数の非可約性を保証する。
• 輸送公式とブレーディング関係を用いて、超有限III₁因子の双加群上でのConnesの融合を定義する。
• 融合行列に対するPerron-Frobenius定理を適用し、量子次元を計算し、$d(H_{ij}^{\ell})^2$ を用いて有限指数を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Neveu-Schwarz代数は、Jones-Wassermann機構を用いてどのように非可約部分代数を構成できるか？
• RQ2 $ {{\mathfrak{Vir}}}_{1/2}$ の離散系列表現に対するConnesの融合環の構造は何か？
• RQ3 得られる部分代数の指数は、表現論的データからどのように決定されるか？
• RQ4 一次場とそのブレーディング関係は、部分代数の非可約性をどの程度保証するか？
• RQ5 $ {{\mathfrak{Vir}}}_{1/2}$ の表現の融合則は、$LSU(2)$の融合則のテンソル積として実現可能か？

主な発見

• Neveu-Schwarz代数の離散系列に対するConnesの融合則は、$H_{ij}^{\ell} \boxtimes H_{i'j'}^{\ell} = \bigoplus_{(i'',j'') \in \langle i,i'\rangle_\ell \times \langle j,j'\rangle_{\ell+2}} H_{i''j''}^{\ell}$ であり、$\langle a,b\rangle_n$ は三角不等式を満たす整数の集合として定義される。
• Jones-Wassermann部分代数 $\mathcal{M}_{ij}^{\ell}(I) \subset \mathcal{M}_{ij}^{\ell}(I^c)^\natural$ は非可約で、有限深さかつ超有限III₁型であり、$\mathcal{R}_\infty \otimes \mathcal{R}$ に同型である。
• 部分代数の指数は明示的に $\left( \frac{\sin(p\pi/m)}{\sin(\pi/m)} \cdot \frac{\sin(q\pi/(m+2))}{\sin(\pi/(m+2))} \right)^2$ と計算され、ここで $p=2i+1$, $q=2j+1$, $m=\ell+2$ である。
• 量子次元は $d(H_{ij}^{\ell}) = \frac{\sin(p\pi/m)}{\sin(\pi/m)} \cdot \frac{\sin(q\pi/(m+2))}{\sin(\pi/(m+2))}$ であり、Perron-Frobeniusによる固有値と一致する。
• 融合環 $\tilde{\mathcal{T}}_m$ は $\mathcal{R}_\ell \otimes_\mathbb{Z} \mathcal{R}_{\ell+2}$ に同型であり、全融合則は可換である。
• 部分代数は自己双対的であり、$H_{00}^{\ell} \leq (H_{ij}^{\ell})^{\boxtimes 2}$ が成り立つため、Connesの融合に関して $H_{ij}^{\ell}$ が自己双対的であることが確認される。