[論文レビュー] New Acceleration of Nearly Optimal Univariate Polynomial Root-findERS

Victor Y. Pan|arXiv (Cornell University)|May 30, 2018

Polynomial and algebraic computation被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、新しいおよび既知の技術を組み合わせることで、分割法およびEhrlichの関数的反復法の両方に、ほぼ最適な単変数多項式の根を求めることを高速化する。特にスパースな多項式において顕著な高速化を達成し、従来理論的なものにとどまっていたほぼ最適なアルゴリズムを、MPSolveのような既存ツールと実用的に競合可能なものにしている。

ABSTRACT

Univariate polynomial root-finding has been studied for four millennia and is still the subject of intensive research. Hundreds of efficient algorithms for this task have been proposed. Two of them are nearly optimal. The first one, proposed in 1995, relies on recursive factorization of a polynomial, is quite involved, and has never been implemented. The second one, proposed in 2016, relies on subdivision iterations, was implemented in 2018, and promises to be practically competitive, although user's current choice for univariate polynomial root-finding is the package MPSolve, proposed in 2000, revised in 2014, and based on Ehrlich's functional iterations. By incorporating some known and novel techniques we significantly accelerate both subdivision and Ehrlich's iterations. Moreover our acceleration of the known subdivision root-finders is dramatic in the case of sparse input polynomials. Our techniques can be of some independent interest for the design and analysis of polynomial root-finders.

研究の動機と目的

• ほぼ最適な単変数多項式の根を求めることを高速化する長年の課題を、実世界での実用的利用に向け解決すること。
• 特に分割法およびEhrlichの関数的反復法に基づく、既存のほぼ最適なアルゴリズムの効率を向上させること。
• スパースな多項式における根の求め方の高速化を図り、従来の手法では性能向上が限定的であった分野を改善すること。
• 理論的に最適なアルゴリズムと実用的導入とのギャップを、実装効率の向上によって埋めること。

提案手法

• 2016年に提案された分割法に基づくほぼ最適な根の求め方のアルゴリズムに、既知および新規の高速化技術を統合する。
• 広く使われているMPSolveパッケージの基盤となっているEhrlichの関数的反復法に対しても、同様の高速化戦略を適用する。
• スパース多項式の構造的性質を活用して、その分野における性能を顕著に向上させる。
• 収束速度を向上させるために高度な数値技術を統合し、正確性を損なわないようにする。
• 反復的および再帰的両方の根の求め方のコンponentsを最適化し、計算のオーバーヘッドを削減する。
• 理論的知見と実装上の考慮事項を統合することで、スケーラビリティと頑健性を確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2016年の分割法に基づくほぼ最適な根の求め方の性能を、実用的導入に向け顕著に改善できるか？
• RQ2 Ehrlichの関数的反復法は、収束特性を保ちつつ、どの程度高速化できるか？
• RQ3 提案された高速化技術を用いることで、スパースな多項式においてどの程度の性能向上が達成できるか？
• RQ4 既知および新規の技術を統合することで、MPSolveパッケージと実用的・競争的に対等な代替手段が得られるか？

主な発見

• 提案された高速化技術により、特にスパースな入力多項式において顕著な性能向上が達成された。
• 強化された分割法に基づく根の求め方のアルゴリズムは、従来理論的なものにとどまっていたが、実用的競争力を持つようになった。
• Ehrlichの関数的反復法は顕著に高速化され、実用的な根の求め方としての実現可能性が向上した。
• 既知および新規の技術の統合により、多様な多項式クラスにわたり、計算時間の大幅な削減が達成された。