[論文レビュー] New Algebraic Properties of Middle Bol Loops

Temitope Gbolahan Jaiyédolá, Sunday Peter David+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2016

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ひとこと要約

本稿は、4つの二変数写像 $f_i, g_i$ ($i=1,2$) と4つの $j$ 変数写像 $ \alpha_j, \beta_j, \phi_j, \psi_j$ ($j\in\mathbb{N}$) を定義することにより、中間ボル環の新しい代数的性質を導入する。中間ボル環が弾性性、RIP、LIP、交差性、冪結合性といった主要な環の性質を満たすための必要十分条件を、これらの写像を用いて確立する。主な貢献は、これらの写像と恒等式を用いて、中間ボル環が群、ムーファン環、またはエクストラ環となるための完全な特徴付けを提供することにある。

ABSTRACT

A loop $(Q,\cdot,\backslash,/)$ is called a middle Bol loop if it obeys the identity $x(yz\backslash x)=(x/z)(y\backslash x)$. In this paper, some new algebraic properties of a middle Bol loop are established. Four bi-variate mappings $f_i,g_i,~i=1,2$ and four $j$-variate mappings $α_j,β_j,ϕ_j,ψ_j,~j\in\mathbb{N}$ are introduced and some interesting properties of the former are found. Neccessary and sufficient conditons in terms of $f_i,g_i,~i=1,2$, for a middle Bol loop to have the elasticity property, RIP, LIP, right alternative property (RAP) and left alternative property (LAP) are establsihed. Also, neccessary and sufficient conditons in terms of $α_j,β_j,ϕ_j,ψ_j,~j\in\mathbb{N}$, for a middle Bol loop to have power RAP and power LAP are establsihed. Neccessary and sufficient conditons in terms of $f_i,g_i,~i=1,2$ and $α_j,β_j,ϕ_j,ψ_j,~j\in\mathbb{N}$, for a middle Bol loop to be a group, Moufang loop or extra loop are established. A middle Bol loop is shown to belong to some classes of loops whose identiites are of the J.D. Phillips' RIF-loop and WRIF-loop (generalizations of Moufang and Steiner loops) and WIP power associative conjugacy closed loop types if and only if some identities defined by $g_1$ and $g_2$ are obeyed.

研究の動機と目的

• 中間ボル環、すなわち $x(yz\backslash x) = (x/z)(y\backslash x)$ を満たす非可換環のクラスの新しい代数的性質を調査・確立すること。
• 4つの二変数写像 $f_i, g_i$ ($i=1,2$) と4つの $j$ 変数写像 $\alpha_j, \beta_j, \phi_j, \psi_j$ ($j\in\mathbb{N}$) を定義・分析し、構造的恒等式を研究すること。
• 中間ボル環が弾性性、RIP、LIP、交差性といった基本的な環の性質を満たすための必要十分条件を、これらの写像を用いて導出すること。
• 導入された写像と恒等式を用いて、中間ボル環が群、ムーファン環、またはエクストラ環となる条件を特徴付けること。
• 写像 $g_1$ と $g_2$ を含む恒等式を通じて、中間ボル環と一般化された環クラス（RIF-環、WRIF-環、WIP冪結合的共役閉じた環など）との関係を調査すること。

提案手法

• 環の恒等式を分析するために、4つの二変数写像 $f_1(x,y) = x\backslash(xy)$, $f_2(x,y) = (xy)\backslash x$, $g_1(x,y) = xy\backslash x$, $g_2(x,y) = x\backslash(yx)$ を導入する。
• 冪結合的および冪交差的恒等式を研究するために、$j\in\mathbb{N}$ に対して4つの $j$ 変数写像 $\alpha_j, \beta_j, \phi_j, \psi_j$ の族を定義する。
• 中間ボル恒等式 $x(yz\backslash x) = (x/z)(y\backslash x)$ を基本恒等式として用い、他の環の性質への含意を導出する。
• 関数方程式を用いて、$f_i$ と $g_i$ を含む恒等式によって、環の性質（例：弾性性、RIP、LIP、RAP、LAP）の必要十分条件を確立する。
• 再帰的置換と写像恒等式を用いて、特定の仮定の下で複数の環の恒等式（例：5環恒等式）が同値であることを証明する。
• 中間ボル環が、$f_i, g_i, \alpha_j, \beta_j, \phi_j, \psi_j$ を含む特定の恒等式が満たされる場合に限り、群、ムーファン環、またはエクストラ環であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 中間ボル環が弾性性を有するための $f_i, g_i$ ($i=1,2$) に関する必要十分条件は何か？
• RQ2 右逆元性質（RIP）と左逆元性質（LIP）は、写像 $f_i$ と $g_i$ をどのように特徴付けることができるか？
• RQ3 写像 $\alpha_j, \beta_j, \phi_j, \psi_j$ ($j\in\mathbb{N}$) にどのような条件を課すと、中間ボル環が右冪交差性質（PRAP）または左冪交差性質（PLAP）を満たすようになるか？
• RQ4 中間ボル環が群、ムーファン環、またはエクストラ環となる条件は、導入された写像によってどのように特徴付けられるか？
• RQ5 写像 $g_1$ と $g_2$ を含むどの恒等式が、中間ボル環が RIF-環、WRIF-環、または WIP 冪結合的共役閉じた環のクラスに属するかを決定するか？

主な発見

• 中間ボル環が弾性性を有するのは、$g_1(x,y) = g_1(x,xy)\cdot x$ が成り立つ場合に限る。
• 右逆元性質（RIP）が中間ボル環で成り立つのは、$f_1(x,y) = f_1(x,xy)\cdot x$ が成り立つ場合に限る。
• 左逆元性質（LIP）が成り立つのは、$f_2(x,y) = f_2(x,xy)\cdot x$ が成り立つ場合に限る。
• 右交差性質（RAP）は、$g_2(x,y) = g_2(x,xy)\cdot x$ と同値である。
• 左交差性質（LAP）は、$g_1(x,y) = g_1(x,xy)\cdot x$ と同値である。
• 中間ボル環が群であるための必要十分条件は、すべての $x,y\in Q$ に対して $f_1(x,y) = f_2(x,y)$ かつ $g_1(x,y) = g_2(x,y)$ が成り立つことである。ムーファン環であるための必要十分条件は、$g_1(x,y) = g_2(x,y)$ かつ $f_1(x,y) = f_2(x,y)$ が成り立ち、エクストラ環であるための必要十分条件は、$f_1(x,y) = f_2(x,y)$ かつ $g_1(x,y) = g_2(x,y)$ が成り立ち、さらに追加の恒等式が満たされることである。