[論文レビュー] New Algorithms for Computing a Single Component of the Discrete Fourier Transform

Gilson Jerônimo da Silva, Ricardo M. Campello de Souza+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2015

Digital Filter Design and Implementation参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、巡回多項式を用いて離散フーリエ変換（DFT）の1成分を計算する2つの新しいアルゴリズム、JCOおよびJCO-Goertzelを提案する。これらのアルゴリズムは、ゴーツェル法よりも乗算複雑度が低く、特に1成分のDFT計算において、乗算回数をN未満に削減する。JCO-Goertzelアルゴリズムは、1成分のDFT計算に必要な実数乗算回数を$\phi(L)$にまで低減し、このタスクにおいて既知の最も効率的な方法である。

ABSTRACT

This paper introduces the theory and hardware implementation of two new algorithms for computing a single component of the discrete Fourier transform. In terms of multiplicative complexity, both algorithms are more efficient, in general, than the well known Goertzel Algorithm.

研究の動機と目的

• DFTの1成分を計算するためのより効率的なアルゴリズムの開発、特に少数のDFT係数が必要な応用を想定する。
• ゴーツェル法のような既存手法の乗算複雑度を低減すること、特に1成分あたりN回の実数乗算を要する。
• 巡回多項式の代数的構造を活用し、特定の状況では乗算を伴わない多項式除算を可能にする。
• 最小限の記憶領域と計算オーバーヘッドで実現可能な、提案アルゴリズムのハードウェア効率の良い実装を設計すること。

提案手法

• JCOアルゴリズムは、$L = \textrm{ord}(W_N^k) = N / \gcd(N,k)$ である巡回多項式 $\Phi_L(x)$ を用い、$W_N^k$ の最小多項式を実数上に表現する。
• 信号の母関数多項式 $v(x)$ を $\Phi_L(x)$ で割った余り $R(x)$ が得られ、$V_k = R(W_N^k)$ が自己回帰フィルタを用いて計算される。
• JCO-Goertzelアルゴリズムは、JCO手法とゴーツェル法を組み合わせたものである。JCO除算の後、余りをゴーツェルフィルタで評価することで、総乗算回数を $\phi(L)$ にまで低減する。
• ハードウェア実装では、シフトレジスタとフィードバックフィルタ構造を用い、$\Phi_L(z^{-1})$ から導かれる係数を用いる。これにより、$v_n$ をすべて保存せずとも、入力が順次到着する形で処理可能である。
• 分子の係数 $a_j$ は事前に計算・保存され、分母の $b_j$ は整数（0, 1, -1）であるため、乗算が自明になる。
• $L < 105$ の場合、$\Phi_L(x)$ の係数は \{0, 1, -1\} のみをとるため、JCO段階で乗算を完全に回避できる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 巡回多項式を用いて、ゴーツェル法よりも乗算複雑度が低いDFT成分計算アルゴリズムを設計できるか？
• RQ2 $W_N^k$ の最小多項式である $\Phi_L(x)$ を用いることで、1つのDFT係数を計算するための実数乗算回数を削減できるか？
• RQ3 JCO-Goertzelハイブリッドアルゴリズムは、ゴーツェル法およびJCOアルゴリズム単体よりも低い乗算複雑度を達成できるか？
• RQ4 自己回帰フィルタ構造を用いて、最小限の記憶領域と計算オーバーヘッドで、提案されたアルゴリズムをハードウェアに実装可能か？

主な発見

• JCO-Goertzelアルゴリズムは、1成分のDFT成分計算において、既知の最低の乗算複雑度を達成しており、$L = N / \gcd(N,k)$ に対して僅か $\phi(L)$ 回の実数乗算で済む。
• L = 8 の場合、1024点DFTにおける $V_{128}$ の計算には、ゴーツェル法の1024回の乗算と2049回の加算と比較して、2回の乗算と1027回の加算で十分である。
• $\phi(L) = 2$ の場合、JCO-Goertzelアルゴリズムはゴーツェル法に還元され、$L = 3, 4, 6$ の場合に同一の性能を示す。
• JCOアルゴリズムは、$\Phi_L(x)$ の係数が \{0, 1, -1\} に限定される場合、乗算を完全に回避できる。これは $L < 105$ の場合に成り立つため、計算コストを著しく低減する。
• ハードウェア実装では、入力サンプルを到着順に処理でき、$v_n$ 全体を保存する必要がなく、フィードバック係数の乗算もすべて自明である。
• JCO-Goertzelアルゴリズムでは、各成分に $N$ 回未満の乗算で済むため、$N$ 点DFTを $N^2$ 回未満の乗算で計算可能である。