[論文レビュー] New Algorithms for Regular Expression Matching

Philip Bille|ArXiv.org|Jun 28, 2006

Algorithms and Data Compression被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、単位コストRAMモデルにおけるワードレベル並列処理を活用することで、O(m)の空間を用いて、より良い時間計算量を達成するための新しい正規表現マッチングアルゴリズムを提示する。主な貢献は、NFAの階層的分解と、状態集合のシミュレーションをO(log m)時間/ステップで行う効率的なビットストリング操作であり、特にm ≤ √wまたはw > log²nの場合に、小規模から中規模の正規表現に対して非線形時間計算量を達成する。

ABSTRACT

In this paper we revisit the classical regular expression matching problem, namely, given a regular expression $R$ and a string $Q$, decide if $Q$ matches one of the strings specified by $R$. Let $m$ and $n$ be the length of $R$ and $Q$, respectively. On a standard unit-cost RAM with word length $w \geq \log n$, we show that the problem can be solved in $O(m)$ space with the following running times: \begin{equation*} \begin{cases} O(n\frac{m \log w}{w} + m \log w) & ext{if $m > w$} \\ O(n\log m + m\log m) & ext{if $\sqrt{w} < m \leq w$} \\ O(\min(n+ m^2, n\log m + m\log m)) & ext{if $m \leq \sqrt{w}$.} \end{cases} \end{equation*} This improves the best known time bound among algorithms using $O(m)$ space. Whenever $w \geq \log^2 n$ it improves all known time bounds regardless of how much space is used.

研究の動機と目的

• O(m)の空間使用量を維持しつつ、正規表現マッチングの時間計算量を改善すること。
• 特にDFAベースのアプローチにおける指数的空間コストに起因する限界を克服すること。
• 単位コストRAMモデルにおけるワードレベル並列処理を活用し、従来の状態集合手法よりも効率的にNFAをシミュレートすること。
• キャッシュミスを引き起こす大規模なDFAテーブルの必要性を排除し、よりキャッシュフレンドリーな代替手段を提供すること。

提案手法

• 効率的な並列シミュレーションを可能にするために、NFAの階層的分解を導入する。
• 状態集合のビットストリング表現を採用し、論理積（AND）、論理和（OR）、シフト、論理否定（NOT）などのビット操作を用いて、一度に複数の遷移をシミュレートする。
• NFAの状態を区間へ分割するためのセパレータマッピング技術を用い、事前に計算されたビットマップにより定数時間の操作を実現する。
• ワードレベル並列処理を活用して、同時に複数のNFA状態をシミュレートし、1ステップあたりのシミュレーション時間をO(m)からO(log m)に削減する。
• O(m log m)の事前処理時間と1操作あたりO(log m)の時間を持つシミュレーションデータ構造を適用し、効率的な状態集合の更新を可能にする。
• 再帰的分解とビットレベルの集約を用いて、大規模なNFAのシミュレーションをより小さな部分問題に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 大規模なDFAを構築せずに、ワードレベル並列処理を用いて正規表現マッチングを高速化できるか？
• RQ2 O(m)の空間のみを用いて、正規表現マッチングで達成可能な最良の時間計算量は何か？
• RQ3 従来の手法が1ステップあたりO(m)のコストを要する状態集合シミュレーションを、どのように最適化できるか？
• RQ4 DFAベースのアプローチにおける指数的空間コストを回避しつつ、ほぼ線形時間性能を維持できるか？
• RQ5 ワードサイズwが、正規表現マッチングアルゴリズムの性能に果たす役割は何か？

主な発見

• m > wの場合、時間計算量はO(n·m·log w / w + m·log w)に達し、大規模な正規表現に対して顕著な高速化を実現する。
• √w < m ≤ wの場合、時間計算量はO(n·log m + m·log m)となり、中規模の正規表現に対してThompson法のO(n·m)を上回る。
• m ≤ √wの場合、時間計算量はO(min(n + m², n·log m + m·log m))となり、非常に小規模な正規表現では最適なO(n)時間に達する。
• w ≥ log²nの場合、空間使用量に関係なく、強化されたワードレベル並列処理のおかげで、既知のすべての時間計算量が改善される。
• m = O(log n)の場合、時間計算量はO(n·log log n)、空間使用量はO(log n)に達し、DFA構築に伴う指数的空間コストを回避する。
• 大規模なルックアップテーブルを回避することで、キャッシュミスを低減し、従来のDFAベースのアプローチに比べて実用的な利点を提供する。