[論文レビュー] New analysis of Galerkin-mixed FEMs for incompressible miscible flow in porous media

Weiwei Sun, Chengda Wu|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2020

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 37被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、多孔質媒体内における非圧縮性多成分拡散問題に適用されるガレルキン混合有限要素法（FEM）に対して、新たな非制限的最適誤差解析を提示する。著者らは、時間・メッシュ条件に制限のない条件下で、最低次の方法において濃度の $L^2$-ノルムで2次精度を確立した。これは、従来、制限のある時間・メッシュ条件下でのみ1次精度が示されていたものである。その実現に、新規の準射影技術を用いた。

ABSTRACT

Analysis of Galerkin-mixed FEMs for incompressible miscible flow in porous media has been investigated extensively in the last several decades. Of particular interest in practical applications is the lowest-order Galerkin-mixed method, { in which a linear Lagrange FE approximation is used for the concentration and the lowest-order Raviart-Thomas FE approximation is used for the velocity/pressure. The previous works only showed the first-order accuracy of the method in $L^2$-norm in spatial direction,} which however is not optimal and valid only under certain extra restrictions on both time step and spatial mesh. In this paper, we provide new and optimal $L^2$-norm error estimates of Galerkin-mixed FEMs for all three components in a general case. In particular, for the lowest-order Galerkin-mixed FEM, we show unconditionally the second-order { accuracy in $L^2$-norm} for the concentration. Numerical results for both two and three-dimensional models are presented to confirm our theoretical analysis. More important is that our approach can be extended to the analysis of mixed FEMs for many strongly coupled systems to obtain optimal error estimates for all components.

研究の動機と目的

• 従来の解析では、最低次のガレルキン混合FEMにおける濃度の精度が1次にとどまっていたという長年の制限を解消すること。
• 誤差推定の有効性を制限していた時間刻みと空間メッシュサイズに関する制限付き仮定を排除すること。
• 強い結合性を示す非線形放物型系の全成分（濃度、速度、圧力）に対して、最適誤差境界を導出するための新たな理論枠組みを提供すること。
• 特に、広く用いられる最低次の方法において、濃度の $L^2$-ノルムで非制限的最適収束率を確立すること。
• 高次近似および3次元問題への解析の拡張を行い、そのロバストネスと一般性を確認すること。

提案手法

• 濃度の誤差解析を速度場および圧力場の解析から分離するために、新規の準射影技術を導入する。
• 濃度に線形ラグランジュ要素（$V_h^1$）、速度・圧力に最低次のラヴィアル・トーマス要素（$Σ_h^0$）を用いたガレルキン混合FEMを適用する。
• 時間方向に半implicitエイラースキームを用い、濃度 $c$、速度 $¹u$、圧力 $p$ の3変数について $L^2$-ノルムでの誤差推定を導出する。
• 誤差境界 $\|c^n - \mathcal{C}_h^n\|_{L^2} \leq C(h^{r+1} + \tau)$ を確立し、$r=1$（最低次のケース）において $O(h^2)$ の最適収束が得られることを示す。
• 従来の研究で必要とされたメッシュサイズ条件 $h_c^{-1}h_p^{k+1} = o(1)$ および時間刻み制限 $\tau = o(h)$ がもはや必要でないことを証明する。
• 滑らかでない係数を有する2次元および3次元領域における数値実験を通じて、理論的結果の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間刻みやメッシュサイズに制限のない条件下で、ガレルキン混合FEMの全成分に対する最適 $L^2$-ノルム誤差推定を導出可能か？
• RQ2 最低次のガレルキン混合FEMにおける濃度の2次収束は、非制限的条件下でも達成可能か？
• RQ3 提案された準射影技術は、他の強い結合性を示す非線形放物型系へ一般化可能か？
• RQ4 速度および圧力が低次の要素で近似されても、濃度の精度は依然として最適のままであるか？
• RQ5 滑らかでない媒質を有する2次元および3次元設定において、理論的誤差境界と数値結果はどのように一致するか？

主な発見

• 本稿では、時間刻みやメッシュサイズの制限なしに、濃度・速度・圧力の全3成分について非制限的最適 $L^2$-ノルム誤差推定を確立した。
• 最低次のガレルキン混合FEM（$r=1, k=0$）において、濃度は空間的に2次精度（$O(h^2)$）を達成し、これは最適であり、かつ一般条件下で以前には証明されていなかった。
• 2次元および3次元における数値結果は理論的収束率を確認している：濃度は2次（$h^2$）、速度および圧力は1次（$h$）であり、2次元では2.01および1.99の観測収束次数、3次元では2.01の観測収束次数が得られた。
• 従来の研究で必要とされたメッシュサイズ条件 $h_c^{-1}h_p^{k+1} = o(1)$ および時間刻み制限 $\tau = o(h)$ はもはや不要である。
• 提案された準射影法により、結合系に対する最適誤差解析が可能となり、他の非線形的・強い結合性を示す偏微分方程式へも応用可能である。
• 速度および圧力が $O(h)$ の近似で行われても、濃度誤差は依然として $O(h^2)$ のままであり、実用的応用における手法のロバストネスを示している。