[論文レビュー] New applications of the Lambert and generalized Lambert functions to ferromagnetism and quantum mechanics

Victor Bârsan|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2016

Sports Dynamics and Biomechanics参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、一般化されたラマヌジャン・ラムゼット関数の最近の進展を応用し、強磁性および量子力学における超越方程式を解く。平均場強磁性におけるワイズ方程式およびデルタ関数ポテンシャルを伴う固有値問題に対して、正確な解析的解を提供し、$ W(t;s;a) $ および $ W(t_1,t_2;-;a) $ を用いて明示的に表現可能であることを示した。これにより、従来は取り扱いが困難であったモデルの完全な解析的取り扱いが可能になった。

ABSTRACT

The applications of the recent results obtained in the theory of generalized Lambert functions, to the mean field theory of ferromagnetism are presented. As a consequence, all the predictions of the Weiss theory of ferromagnetism can be explicitly and exactly formulated. In several quantum mechanical problems involving delta function potentials, the solutions of the transcendental eigenvalue equations are expressed in terms of two parameters generalized Lambert functions. Some others, till unnoticed examples of eigenvalue equations whose solutions can be written using the Lambert W function, are also presented.

研究の動機と目的

• 一般化ラムゼット関数の応用を、それまでその使用が試みられていなかった物理理論に拡張すること。
• 平均場強磁性におけるワイズ方程式に対して、$ W(t;s;a) $ を用いて正確な解析的解を提供すること。
• デルタ関数ポテンシャルを伴う量子力学的固有値問題を特定し、ラムゼット関数を用いて解くこと。
• ラムゼット関数と量子力学におけるスペクトル問題との間の、以前に気づかれていなかった関係を明らかにすること。
• ワイズの強磁性理論の全予測が、一般化ラムゼット関数を用いて明示的かつ正確に記述可能であることを示すこと。

提案手法

• 一般化ラムゼット関数 $ W(t;s;a) $ を用い、$ e^x \frac{x-t}{x-s} = a $ を満たす解として定義され、強磁性におけるワイズ方程式を解く。
• $ r $-ラムゼット関数 $ W_r $ は $ xe^x + rx $ の逆関数として定義され、$ W(t;s;a) = t + W_{-a e^{-t}}(a(t-s)e^{-t}) $ を通じて $ W(t;s;a) $ を表現する。
• ラゲール多項式およびベッセル多項式を含む $ W(t;s;a) $ および $ W(t_1,t_2;-;a) $ の級数展開を用いて解析的取り扱いを行う。
• ワイズ方程式 $ \tanh x = bx $ を $ e^{2x} \frac{x - 1/b}{x + 1/b} = -1 $ に変換し、$ W(2/b; -2/b; -1) $ を用いて解けるようにする。
• 逆ワイズ方程式 $ \tanh x = b/x $ を $ e^{2x} \frac{x - b}{x + b} = 1 $ に変換し、$ W(2b; -2b; 1) $ を用いて解けるようにする。
• 同様の枠組みを1次元量子力学的問題に適用し、$ W $-関数で解ける固有値方程式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平均場強磁性におけるワイズ方程式は、一般化ラムゼット関数を用いて正確に解けるか？
• RQ2 デルタ関数ポテンシャルを伴う量子力学的系で、その固有値方程式がラムゼット関数を用いて解けるものは存在するか？
• RQ3 一般化ラムゼット関数 $ W(t_1,t_2;-;a) $ は、量子力学におけるスペクトル問題を解く際に果たす役割は何か？
• RQ4 なぜラムゼット関数と量子力学的固有値方程式との間の関係が、これまでに気づかれていなかったのか？
• RQ5 ワイズの強磁性理論の全解析的構造は、一般化ラムゼット関数を用いて回復可能か？

主な発見

• ワイズ方程式 $ \tanh x = bx $ は $ x = \frac{1}{2} W(2/b; -2/b; -1) $ を用いて正確に解ける。これにより、強磁性の完全な解析的取り扱いが可能になった。
• 逆ワイズ方程式 $ \tanh x = b/x $ は $ x = \frac{1}{2} W(2b; -2b; 1) $ を用いて正確に解ける。これにより、解けるモデルの範囲が拡張された。
• 二重デルタポテンシャル中の粒子のスペクトルは $ K = W(2ag^2, -2ag^2; -; -4a^2g^4) $ として与えられ、一般化ラムゼット関数の直接的応用である。
• 壁に近いデルタ関数ポテンシャルにおける束縛状態エネルギーは $ k = -\frac{1}{2}(g + W(ge^g)) $ として与えられ、境界条件依存スペクトルにおけるラムゼット関数の役割が示された。
• デルタシェルポテンシャルの回転スペクトルは $ k = \frac{V_0}{2} + \frac{1}{2r} W(-rV_0 e^{-rV_0}) $ として与えられ、3次元系への適用可能性が示された。
• これまでに気づかれていなかったが、$ \delta $ および $ \delta' $ 関数を含むいくつかの量子力学的固有値方程式が、$ W $-関数を用いて解けることが明らかにされ、明示的にラムゼット関数と結びつけられた。