[論文レビュー] New Approach to Arakelov Geometry

Nikolai Durov|ArXiv.org|Apr 16, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用数 72

ひとこと要約

本稿は、一般化された環とスキームを用いた、アラケロフ幾何学の新しい代数的枠組みを提案する。この枠組みは、古典的代数幾何、アラケロフ理論、トロピカル幾何、および1つの元からなる体（F₁）の幾何学を統一する。コンパクト化されたスペクトル \textbackslash{}Spec \,\mathbb{Z}^\infty を構成し、それら上に定義されたモデルが、複素多様体に（可能なかぎり特異な）バナッハ（余）計量を自然に誘導することを示している。主な結果として、\textbackslash{}Spec \,\mathbb{Z}^\infty 上のベクトルバンドルの算術的次数と、対数的高さがラインバンドルの次数として実現されることを示している。

ABSTRACT

This work is dedicated to a new completely algebraic approach to Arakelov geometry, which doesn't require the variety under consideration to be generically smooth or projective. In order to construct such an approach we develop a theory of generalized rings and schemes, which include classical rings and schemes together with "exotic" objects such as F_1 ("field with one element"), Z_\infty ("real integers"), T (tropical numbers) etc., thus providing a systematic way of studying such objects. This theory of generalized rings and schemes is developed up to construction of algebraic K-theory, intersection theory and Chern classes. Then existence of Arakelov models of algebraic varieties over Q is shown, and our general results are applied to such models.

研究の動機と目的

• 複素微分幾何学を必要としない、完全に代数的なアラケロフ幾何学のアプローチを開発すること。
• 従来は形式的であったが、\textbackslash{}Z∞ および F₁ の「アーキメデス的局域環」としての厳密な定義を提示すること。
• 古典的代数幾何、アラケロフ幾何、トロピカル幾何、F₁-幾何学を、一つの圏的枠組みで統一すること。
• \textbackslash{}Spec \,\mathbb{Z}^\infty 上の一般化されたスキームを構成し、この設定においてベクトルバンドル、ピカール群、チャウ環を研究すること。
• この新しい枠組みにおいて、算術的不変量（例：高さ）と幾何的不変量（例：ラインバンドルの次数）の間の対応関係を確立すること。

提案手法

• Z∞、Z(∞)、F±₁ を含む一般化された環を導入し、古典的環および価値環の代数的一般化として定義する。
• 一般化された環のスペクトルを定義し、貼り合わせを用いて一般化されたスキームを構成し、古典的スキームが完全な部分圏をなす圏を形成する。
• \textbackslash{}Spec \,\mathbb{Z}^\infty をプロ一般化スキームとして構成し、Spec Z のコンパクト化として機能させる。
• K₀ 上のγフィルトレーションを用いて、ベクトルバンドル、ラインバンドル、およびそれらのチエーン類を定義し、グロタンディークのリーマン–ロッフの手法を適応する。
• ハイパーアルゲブラ的K理論に対してワルドハウゼンの構成を用い、完全複体の代わりに完全な単体的対象を定義する。
• \textbackslash{}Spec \,\mathbb{Z}^\infty 上のモデルのセクションと、Q 上の多様体上の有理点との間の対応関係を確立し、算術的次数を対数的高さに結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アラケロフ幾何学は、複素微分幾何学を一切用いずに、完全に代数的枠組みで定式化可能だろうか？
• RQ2 1つの元からなる体 F₁ およびアーキメデス的価値環 Z∞ は、スキーム理論の中で厳密に定義可能だろうか？
• RQ3 \textbackslash{}Spec \,\mathbb{Z}^\infty のピカール群およびチャウ環の構造は何か？ それらは算術的不変量とどのように関係するか？
• RQ4 射影的多様体上の有理点の対数的高さは、一般化されたスキームモデル上のラインバンドルの次数として実現可能だろうか？
• RQ5 \textbackslash{}Spec \,\mathbb{Z}^\infty 上のベクトルバンドルは、古典的アラケロフ理論におけるヘッティアンベクトルバンドルとどのように関係するか？

主な発見

• Pic(\textbackslash{}Spec \,\mathbb{Z}^\infty) から log Q×+ への算術的次数写像 deg: は同型写像であり、ラインバンドルに対する完全な算術的不変量を提供する。
• 任意のQ上の射影的多様体Xに対して、\textbackslash{}Spec \,\mathbb{Z}^\infty 上の有限生成モデルXが存在し、代数的有限性を保証する。
• 有理点 P ∈ X(Q) は、\textbackslash{}Spec \,\mathbb{Z}^\infty → X への一意的なセクション σP に一意に拡張可能であり、有理点の幾何的リフトを確立する。
• σ∗P(OX(1)) の算術的次数は、P の対数的高さに等しく、幾何的次数と算術的高さを結びつける。
• \textbackslash{}Spec \,\mathbb{Z}^\infty は、X(C) 上に自然な（余）計量を備え、フェビニ–シュタイナー計量のような古典的計量も、このようなモデルから生じる。
• \textbackslash{}Spec \,\mathbb{Z}^\infty 上のベクトルバンドルは GLn(Q)/GLn(Z) によってパラメトライズされ、そのK₀群は完全な単体的対象を用いて計算される。